6.3. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении в двух направлениях

Р ассмотрим общий случай плоского (двухосного) напряжённого состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения и (рис. 32а). Между направлением напряжения и площадкой угол равен Из условия равновесия отсечённой правой части (рис. 32б) определим напряжения и . Для этого воспользуемся уравнениями (6.1) и (6.2). Суммируя напряжения от действия с напряжением от действия (заменяя угол α на угол ( )), получим:

,

откуда

. (6.8)

Аналогично

откуда . (6.9)

Из формулы (6.9) видно, что максимальное касательное напряжение равно полуразности главных напряжений (при ):

. (6.10)

Из формул (6.8) и (6.9) следует:

1. Если , то на всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку, нормальное напряжение равно , а касательное напряжение равно нулю. Такое напряжённое состояние называют равномерным двухосным растяжением (или сжатием).

2. Если , , а , то при нормальное напряжение в наклонной площадке оказывается равным нулю, а . Такое напряжённое состояние называется чистым сдвигом.

6.4. Определение напряжений на площадке произвольного положения

Пусть у некоторой выбранной точки D тела наблюдается плоское напряжённое состояние (рис. 33а,б).

В ыделим в окрестности точки призму abca'b'c' (рис. 33в), на грани bb'с′с которой (рис. 33г) действует нормальное напряжение σ_α и касательное τ_α (п – нормаль к этой грани, t – касательная). Рассмотрим равновесие данной призмы, приняв площадь наклонённой грани bb'с'с за dА. Тогда площадь грани abb'a', перпендикулярной оси х – dAcosα, а грани aa′c′c, перпендикулярной оси у – dAsinα. На грани abb'a', относительно которой на угол α повернута площадка bb'с′с, направление касательного напряжения τ_ху = τ принято положительное.

Сумма проекций всех сил на нормаль п:

Приняв τ_ху= τ_ух= τ и сократив на dА, получим формулу для определения нормальных напряжений на площадке bb'с′с:

. (6.11)

Проецируя все действующие силы на направление касательной t к наклонной площадке, получим:

.

После несложных преобразований получим формулу для определения касательных напряжений на площадке bb'с′с:

. (6.12)

Формула для определения положения главных площадок, т. е. площадок, на которых касательные напряжения равны нулю, следует из выражения (6.12) при :

. (6.13)

Углы α₀ и , найденные по формуле (6.13), определяют положение главных площадок около анализируемой т. А. Подстановкой найденных значений углов α₀ и в выражение (6.11) для напряжений σ_α получим значения главных напряжений (σ₂ = 0):

. (6.14)

Максимальное значение касательных напряжений в теле:

. (6.15)

Значение возникает на площадке, параллельной вектору и делящей пополам угол между первой и третьей главными площадками.