2.11. Ускорения точек при плоском движении тела Мгновенный центр ускорений

З а переносное движение тела примем поступательное движение, за относительное движение – вращение тела вокруг полюса А (рис. 30).

Полюс А движется с ускорением a_A и тело вращается вокруг полюса с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε. Из формул для сложного движения точки имеем:

Рис. 30

Э ту формулу можно представить в виде

Точка В получает ускорение a_BA вследствие вращения вокруг по­люса А, компоненты этого ускорения определяются так:

отсюда

Мгновенный центр ускорений. В каждый момент движения пло­ской фигуры в своей плоскости, если ω и ε не равны нулю одновременно, име­ется единственная точка этой фигуры, ус­корение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускоре­ний, мы будем ее обозначать Q.

П усть нам известны по модулю и направлению ускорение какой-либо точки плоской фигуры (точка О), угловая скорость и угловое ускорение ε этой фигуры (рис. 31).

Рис. 31

Мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной под углом α ( tgα=ε/ω²) к ускорению точки О.

При этом α надо отложить от ускоре­ния a_O в направлении дуговой стрелки углового ускорения ε.

Т олько в точках этой прямой ускорение a_O и ускорение от враще­ния a_QO могут иметь противоположные направления и одинако­вые по модулю значения:

Но следовательно

Мгновенный центр ускорений является единственной точкой фи­гуры, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. В другой момент времени мгновенный центр ускорений находится в общем случае в другой точке плоской фигуры.

Если положение мгновенного центра ускорений известно, то вы­брав его за полюс, для ускорения произвольной точки А, имеем:

и ускорение a_A направлено под углом α к отрезку AQ, соединяющего точки A и Q в сторону дуговой стрелки ε (рис. 32).

У скорения двух точек A и B показаны на рисунке, их величины равны

Рис. 32

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и при вращательном движе­нии плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.

Для вычисления скоростей принимают, что фигура вращается во­круг мгновенного центра скоростей, для вычисления ускорений принимают, что фигура вращается вокруг мгновенного центра уско­рений. В общем случае эти центры являются разными точками пло­ской фигуры.

Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении подобно скоростям точек можно вычислить двумя способами: по формуле , выражающей зависимость ускорений двух точек пло­ской фигуры (способ 1) и по формуле , используя мгновенный центр ускорений (способ 2). Часто мгновен­ный центр ускорений (кроме случаев, когда ω или ε равных нулю) располагается так, что трудно определить расстояние от него до рас­сматриваемых точек фигуры, поэтому рекомендуется использовать способ 1 через формулу, связывающую ускорения точек фигуры.

Способы нахождения мгновенного центра ус­корений.

1.

Ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений (Рис. 33), так как они состоят только из одной нормальной составляющей от вращения вокруг мгновенного центра ус

Рис. 33 корений.

Если известно a_A, то AQ = a_A/ω².

2.

мгновенное поступательное движение (Рис. 34). Мгновенный центр ускорений лежит на пересече­нии перпендикуляров к ускорениям точек.

Рис. 34

Е сли из­вестно a_A, то AQ = a_A/ε.

3.

И меем общий случай, ранее уже обсуждавшийся. Угол α откладываем по дуговой стрелке ε от век­тора ускорения (Рис. 35).

Если известно a_A, то

Рис. 35

4 . Пусть в данный момент времени известны ускорения двух точек плоской фигуры A и B (Рис. 36). Приняв за полюс точку A, имеем:

(*),

г де

Проецируя левую и правую части вектор­ной формулы (*) на оси Bx и By получаем:

,

Рис. 36

где β и γ в принципе известные углы.

Проекцию aⁿ_BA на ось Вх берем со знаком (+), так как она всегда на­правлена к оси вращения (к полюсу). Проекцию a^τ_BA, берем со знаком (+) предполагая, что стрелка ε направлена против часовой стрелки.

Из уравнений проекций находим

знак ε определяется после подстановки данных в формулу.

После того, как найдены ε и ω, задача нахождения мгновенного центра ускорений сводится к случаю 3.

Вопросы для самопроверки:

1. Как задается скорость и ускорение в декартовой системе координат?

2. Какие системы координат Вы знаете?

3. Какое движение называется абсолютным, относительным, переносным?

4. Какое движение называется поступательным?

5. Какое движение называется вращательным?

6. Как определить мгновенный центр скоростей?

7. Как определить мгновенный центр ускорений?