2. Кинематика

2.1. Основные понятия

Кинематикой называется раздел механики, в которой изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Под движением мы понимаем в механике изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

2.2. Кинематика точки. Скорость и ускорение точки в декартовых координатах

П оложение точки М₀ определяем радиус-вектором (рис. 18). Если точка движется относительно системы отсчета Oxyz, то ее координаты будут функциями времени:

Рис. 18

Скорость и ускорение точки М в некоторый момент времени:

Обозначим через S длину дуги траектории, отсчитываемой с со­ответствующим знаком от первоначального положения точки на тра­ектории:

Тогда, очевидно,

Годограф. К началу неподвижной системы координат О прило­жим вектор ОР, равный по величине и направлению скорости движу­щейся точки. При движении точки М по ее траектории точка Р опи­сывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М. Очевидно, скорость точки годографа Р равна по определению ус­корению точки М.

2.3. Скорость и ускорение точки в естественной системе координат

Определим орт , он направлен по касательной к траекто­рии. Вектор ортогонален к орту .

Составим отношение:

где k − кривизна траектории, R − радиус кривизны траектории.

Третий орт определим как

Определим скорость и ускорение точки в естественной системе координат:

; то есть

Таким образом, скорость точки всегда направлена по касательной к траектории.

т о есть

Из последних соотношений получим формулу:

2.4. Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Положение точки на плоскости известно, если заданы радиус-век­тор и полярный угол φ как функции времени (рис. 19):

Введем единичный вектор , направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда

Для скорости получаем :

Рис. 19

Для производной по времени от единичного вектора имеем:

После этого для скорости точки в полярных координатах получаем:

Таким образом, радиальная и трансверсальная составляющие вектора скорости имеют вид:

Для ускорения легко получить:

2.5. Скорость и ускорение точек в цилиндрических координатах

Положение точки М в пространстве определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени (рис. 20):

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат

Or, Op, Oz выразится в следующей форме:

Рис. 20

где – единичные векторы, направленные по осям цилиндриче­ской системы координат. Оси Or и Op расположены в одной плоско­сти с осями Ox и Oy.

П редставим радиус-вектор точки М как сумму двух векторов, т.е.

Скорость точки получим дифференцированием радиус-вектора по времени:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ско­рости точки в полярных координатах. Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. В итоге для скорости получается следующее разложение на составляющие осям цилиндрической системы координат:

то есть, имеем, так как составляющие скоро­сти, параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем:

Ускорение точки получим дифференцированием по времени век­тора скорости:

П ервое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе уско­рения в полярных координатах. Во втором слагаемом орт оси z выносим за знак производной. Получим выражение для ускорения точки в состав­ляющих, параллельных осям цилиндрической системы координат: