6. Напряжённое и деформированное состояние в точке

6.1. Напряжённое состояние в точке

Понятие «напряжение в точке» связано как с самой точкой, так и с положением площадки, проведённой через данную точку. Поскольку через точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, то в данной точке имеется и бесчисленное множество напряжений, связанных с площадками их действия Совокупность нормальных и касательных напряжений для множества элементарных площадок, проходящих через точку, называется напряжённым состоянием в точке. Сущность метода расчёта на прочность по допускаемым напряжениям состоит в нахождении этих напряжений, определении экстремальных значений и в сравнении их с допускаемым напряжением для материала элемента конструкции.

Вырежем около анализируемой точки D сечения тела элементарный параллелепипед (рис. 28а), оси которого (рис. 28б) ориентированы так же, как и оси х, у, z, по которым раскладывались главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении, т. е. грани параллельны координатным плоскостям.

На гранях элементарного параллелепипеда внутренние силы ввиду малости площадок можно считать равномерно распределёнными в пределах каждой грани. По определениям (1.4)–(1.6) внутренние равномерные силы на элементарных гранях считаются напряжениями в точке.

Р азложив полное напряжение в точке D по осям координат, получим систему напряжений в точке (у касательных напряжениях первый индекс указывает ось, перпендикулярно которой расположена площадка; второй − ось, параллельно которой действует напряжение σ_x, σ_y, σ_z, τ_ху, τ_ух, τ_zx, τ_xz, τ_yz, τ_zy). При изменении ориентации параллелепипеда около выбранной точки D (например, поворота) по его граням будет действовать другая система напряжений, значения которых могут быть определены через старые.

Так как мысленно вырезанный из тела параллелепипед, по предположению, находится в равновесии под действием системы напряжений в точке, то суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов всех сил относительно координатных осей должны быть равны нулю. Из этого следует:

– нормальные напряжения на противоположных гранях равны и противоположно направлены;

– на взаимно перпендикулярных площадках координатные составляющие касательных напряжения равны и направлены либо к смежному ребру, либо от него. Это положение носит название закона парности касательных напряжений.

Среди бесчисленного множества площадок, проходящих через рассматриваемую точку, имеется, по меньшей мере, три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на главных площадках называются главными и обозначаются с учётом знаков (после определения численных значений).

Если отличны от нуля все три главных напряжения, то такое напряжённое состояние называется трёхосным или объёмным.

Если одно из главных напряжений равно нулю, то такое напряжённое состояние называется двухосным или плоским.

Если равны нулю два главных напряжения, то напряжённое состояние – одноосное или линейное.

Зная напряжённое состояние в любой точке детали, можно оценить прочность самой детали.