Теорема об изменении количества движения системы

Д ля каждой точки системы, находящейся под действием внеш­них и внутренних сил, имеем:

Проведя суммирование по всем точкам системы, получим:

И спользуя свойства внутренних сил системы и определение количе­ства движения системы , окончательно имеем:

Теорема об изменении количества движения системы: производ­ная по времени от количества движения системы равна вектор­ной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

В другой форме теорема выглядит так:

Дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Теорема импульсов в конечной (интегральной) форме:

Изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время.

В проекциях на оси координат

Видно, что внутренние силы не входят в теорему и не влияют на изменение количества движения системы.

Законы сохранения количества движения

Эти законы представляют собой частные случаи теоремы об из­менении количества движения системы.

Если то

т.е. если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то коли­чество движения системы постоянно по величине и направлению.

Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил только на одну ось системы координат, то имеем P_x=const, то есть проекция количества движения системы на ту же ось является постоянной ве­личиной (сохраняется).

Е сли мы имеем тело, разрывающееся под действием внутренних сил на две части, то полный импульс системы, состоящей из двух час­тей, сохраняется, то есть:

3.8. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус-вектора точки приложения силы (рис.40).

Рис. 40

Элементарная работа силы равна также скалярному произведению элементарного им­пульса силы на скорость точки:

Е сли сила F перпендикулярна приращению радиус-вектора dr, то элементарная работа силы равна нулю. Полная работ силы:

Другое определение: , где t=0 соответствует положению точки М₀, а момент времени t – положению М.

Последняя формула удобна для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени.

Размерность работы [A]=1Дж=1Нм.

Мощность. Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он мо­жет совершить за единицу времени.

Размерность мощности [W]=1Вт=1Дж/с.

Работа силы тяжести

В принятой системе координат (рис. 41 ):

P_x=0, P_y=0, P_z= − mg.

Работа силы тяжести на перемещении М₀М₁:

Рис. 41

В системе точек для каждой точки работа A_i=m_ig(z_0i-z_1i), полная работа

Работа линейной силы упругости.

Линейная сила упругости действует по закону Гука , где r – расстояние от начальной точки М₀, где сила равна нулю,

до рассматриваемого положения М₁, тогда работа

где с – постоянный коэффициент жесткости, λ - деформация (удлине­ние) пружины.

Кинетическая энергия.

Кинетической энергией Т материальной точки называют по­ловину произведения массы точки на квадрат её скорости: T=½ mv². Размерность кинетической энергии – 1Дж=1Н м.

Кинетической энергией системы Т называют сумму кинетичес-ких энергий всех n точек механической системы, то есть

Вычисление кинетической энергии системы

Разложим движение механической системы на переносное посту­пательное вместе с центром масс и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Запишем связь координат и скоростей точек системы в абсолют­ной (неподвижной) и подвижной системе отсчета:

Выражение для кинетической энергии системы может быть пред­ставлено в следующем виде:

В силу того, что начало подвижной системы отсчета, совмещено с центром масс системы точек

и третье слагаемое в предыдущей формуле обращается в ноль (выра­жение в круглых скобках в системе отсчета, связанной с центром масс, равно нулю).

В итоге получаем:

Это означает, что кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.

Примеры:

1 . Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении –

2 . Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг не­подвижной оси:

3. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении:

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Умножим скалярно обе части второго закона Ньютона на dr

После несложных преобразований получим:

или

− мощность, подводимая к этой точке.

Интегрируя

то есть изменение кинетической энергии точки на каком-либо пере­мещении равно работе силы, действующей на точку на том же пере­мещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы точек

Для каждой точки системы имеем:

Здесь выразили равнодействующую силу для точки m_k в виде суммы равнодействующих внешних F^(e) и внутренних сил F⁽ⁱ⁾, дейст­вующих на точку.

Проводя суммирование и вынося знак дифференциала за знак суммы, будем иметь:

или

Получили закон изменения кинетической энергии для системы точек: «Изменение кинетической энергии системы точек равно работе все внутренних и внешних сил на всех перемещениях всех точек». Работа внутренних сил не равна нулю, поскольку под действием одинаковых сил действия и противодействия точки разной массы имеют различные перемещения, и работа внутренних сил полностью не компенсируется.

Проведя интегрирование между начальным и конечным положением системы, будем иметь:

или

Для абсолютно твердого тела и

Имеем теорему в конечной форме: «изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек при том же изменении положения системы».