Тема 8. Предел и непрерывность функций
Не повторяя данных в учебнике определений и доказательств, рассмотрим ряд конкретных примеров, в которых отражена сущность теории пределов.
Пример 1.
Подстановка
на место x его предельного значения,
т.е. числа 2, приводит к неопределенности
вида
.
Преобразуем дробь
до перехода к пределу, разложив числитель
и знаменатель на множители
теперь
имеем
.
Пример 2.
Подстановка
предельного значения x
( т.е. числа 0) приводит к неопределенности
вида
.
Преобразуем дробь под знаком предела
до того как
.
=
.
Пример 3.
Найти
.
Здесь
выражение под знаком пределов представляет
собой отношение двух многочленов
аргумента n.
И числитель и знаменатель дроби стремятся
к бесконечности. В этом случае говорят,
что имеется «неопределенность типа
».
Для отыскания предела следует раскрыть скобки и разделить числитель и знаменатель на высшую степень.
Получаем
Так
как
при
.
Пример 4.
Найти
.
Как и в примере 3 целесообразно числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень, которую легко увидеть, если под каждым корнем оставить лишь старшую степень n (остальные слагаемые играют малую роль при ).
В
данном примере получаем
.
Значит
старшая степень -x.
Разделив числитель и знаменатель на x,
будем иметь
,
так как
при x
Пример 5.
Найти
.
Здесь
мы имеем «неопределенность типа (
)».
Умножив
и разделив эту разность на сопряженное
выражение
,
получим
.
Такой
предел рассматривался в предыдущем
примере. Разделив числитель и знаменатель
на x,
будем иметь
.
Пример 6.
Вычислить
Здесь
основание степени
при x
,а
показатель
;
таким образом имеем «неопределенность
типа
».
В этом случае следует воспользоваться
вторым замечательным пределом:
.
Преобразовав выражение, получаем
,
так
как выражение в квадратных скобках
стремится к е,
а
при
.
Пусть,
например, требуется вычислить
.
Рассмотрим
случай
,
тогда показатель стремится к
,
основание к 4, значит искомый предел
равен
.
Если
,
то показатель
,основание
стремится к 4 и искомый предел равен 0.
Итак
.
Пример 7.
Найти
.
Для
решения применим предел
Здесь
при
и
числитель и знаменатель стремятся к
нулю, получаем «неопределенность типа
».
Используя формулу тригонометрии
имеем
Заметим,
что cos(15x)
при x
,
поэтому
Пример 8.
Найти
.
Известно
( следствие теоремы Безу), что если
многочлен обращается в нуль при
, то он
делится без остатка на
,
поскольку и числитель и знаменатель
рассматриваемой дроби обращается в
нуль при х=1 «неопределенность типа
»,
то как и в предыдущей задаче, можно
сократить дробь на х-1. Разделив числитель
и знаменатель на x-1
получаем
.
Пример 9.
Найти
точки разрыва функции
.
Изобразить график в окрестности точки
разрыва.
Знаменатель
,
при х=1 обращается в нуль и значит f(x)
при x=1
не существует, следовательно, x=1
- точка разрыва функции. Для определения
типа разрыва надо найти пределы функции
слева и справа при х=1.
При
тех же рассуждениях получим
.
Итак,
пределы функции слева и справа при
равны, но в точке x=1
функция не определена, значит, точка
устранимого разрыва. График функции в
окрестности точки разрыва выглядит
следующим образом:
Такой разрыв называют устранимым разрывом, так как доопределив функцию f(x) надлежащим образом (положив при x=1 f(x) =4) получим непрерывную функцию:
.