Практическая работа № 5
Тема: Полнота систем булевых функций
Цели работы:
научиться проверять принадлежность булевых функций замкнутым классам;
научиться проверять системы булевых функций на полноту.
Пояснения:
Определение 1: Систему функций {f1,f2,…fm} алгебры логики называют функционально полной, если любую функцию алгебры можно записать с помощью суперпозиции некоторого набора булевых функций f1,f2,…fm.
Определение 2: Класс функций R называется функционально замкнутым, если любая суперпозиция функций этого класса R принадлежит этому классу.
Важнейшие замкнутые классы:
Класс функций, сохраняющих константу 0 (T0)
Так называют функции, для которых выполняется f(0, 0, … 0) = 0
T0 = {f | f(0, 0, … 0) = 0}
Класс функций, сохраняющих константу 1 (T1)
Так называют функции, для которых выполняется f(1, 1, … 1) = 1
T1 = {f | f(1, 1, … 1) = 1}
Класс самодвойственных функций (S)
Функция
f(x1,
… xn),
удовлетворяющая условию f*(x1,
… xn)
=
называется
двойственной по отношению к функции
f(x1,
…xn).
Функция f(x1,
… xn)
называется самодвойственной, если f(x1,
… xn)
= f*(x1,
… x).
S
= {f | f(x1,
… xn)
=
}
Класс линейных функций (L)
Функция алгебры логики вида f(x1, … xn) называют линейной, если её полином Жегалкина имеет вид многочлена первой степени.
L
= {f | f(x1,
x2,
… xn)
= k0
k1x1
…
knxn}
Класс монотонных функций (M)
Функция
f(x1,
… xn)
называется монотонной, если для любых
двух элементов сравнимых между собой,
из (
)
< (
)
следует, что f(
)
< f(
).
M
= {f
| (
)
< (
)
f(
)
< f(
)}
Теорема Поста: Для того, чтобы система булевых функций {f1,f2,…fm} была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов T0, T1, S, L, M нашлась функция fi, не принадлежащая этому классу.
Оборудование, аппаратура, материалы и их характеристики: персональные компьютеры с лицензионным программным обеспечением; доска, маркеры; рабочие тетради; раздаточный материал.
Порядок выполнения работы:
Студенты получают задания по вариантам. Метод решения выбирается студентами самостоятельно и зависит от приобретенных в процессе обучения навыков. В процессе выполнения практической работы преподаватель проводит как групповые, так и индивидуальные консультации по вопросам дополнительного разъяснения отдельных понятий и аспектов изученных тем, задания и оформления отчета.
Докажите, что все следующие булевы функции линейны:
Таблица 1 – Задание № 1
-
№ варианта
Исходные данные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Докажите, что следующие булевы функции самодвойственны:
Таблица 2 – Задание № 2
-
№ варианта
Исходные данные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Докажите монотонность следующих булевых функций:
Таблица 3 – Задание № 3
-
№ варианта
Исходные данные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Докажите полноту или неполноту следующих систем булевых функций:
Таблица 4 – Задание № 4
-
№ варианта
Исходные данные
1
{
}2
{
}3
{
}4
{
}5
{
}6
{
}7
{
}8
{
}9
{
}10
{
}
Требования к отчету: Отчет должен содержать:
название практической работы;
формулировку цели работы;
краткие теоретические сведения по теме работы в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем, рисунков и формул;
результаты решения заданий;
выводы по работе;
краткие письменные ответы на контрольные вопросы.
Текст отчета набирается на компьютере. Допускается тип шрифта Times New Roman, размер 12 – 14, межстрочный 1,5 интервал, выравнивание текста по ширине странице, абзацный отступ 1,25.
Контрольные вопросы:
Что такое замкнутый класс?
Какие функции сохраняют единицу?
Какие функции называются самодвойственными?
Какие наборы называются сравнимыми?
В чем суть теоремы Поста?
Учебная и специальная литература:
Спирина М.С., Спирин В.В. Дискретная математика: Учебник. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 370 с.
Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для высш. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 304 с.
Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ – Петербург, 2008. – 352 с.