1.3. Вращательное движение Примеры решения задач

Пример 1

Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением φ = At²(A = 0,5 рад/с²). Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3)для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное , нормальное и полное a ускорения.

Дано Решение

φ = At2 , A = 0,5 рад/с2, t = 2 с , r = 80 см = 0,8 м	Угловую скорость найдем как первую производную от угла поворота по времени: Угловое ускорение это первая производная от угловой скорости по времени:
ω – ? ε –?

Воспользуемся связью между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движений. Тангенциальное нормальное и полное ускорение точки равны соответственно:

, ,

Подставляем в полученные выражения числовые значения , и находим:

; ;

.

Ответ: ω = 2 рад/с; ε = 1 рад/с²; = 0,8 м/с²; = 3,2 м/с²; a = 3,3

Пример 2

Материальная точка движется по окружности радиусом R = 2 м с угловой скоростью , где рад/с³, рад/с²,

рад/с. Найти: 1) тангенциальное , нормальное и полное ускорения точки в момент времени t = 10 с; 2) число оборотов N, которое сделает точка к этому моменту времени.

Дано Решение

R = 2 м, , рад/с3, рад/с2, рад/с, t = 10 с	Тангенциальное ускорение точки, движущейс по окружности, где угловое ускорение найдем,продифференци - ровав по времени выражение для угловой скорости: . Тогда
aτ–? a–? an–? N–?

Нормальное ускорение:

Полное ускорение точки:

.

При t = 10 с имеем:

(м/с²),

(м/с²),

(м/с²).

2) Число оборотов N, сделанное точкой, найдем по формуле

,

где φ – угловое перемещение точки.

Так как угловая скорость есть первая производная углового перемещения по времени:

,

соответственно:

.

Постоянную интегрирования С найдем, положив угловое перемещение точки в начальный момент времени, равным нулю:

Тогда C = 0 и

Подставив в полученное выражение t = 10 с, получим:

(рад).

Следовательно, к моменту времени t = 10 с точка сделает

(оборотов).

Ответ: 1) м/с², м/с², м/с²; 2) оборотов.

Пример 3

Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

Дано Решение

	Угловое ускорение при равнопеременном замедленном вращении связанно с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением . Так как , , то
ε – ? N – ?

Подставив значения и , получим

.

Число оборотов, сделанных колесом за это время (см. табл.1):

.

Ответ: 1) ε = 0,157 рад/с²; 2) N = 300.

Задачи

21. Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъёма ( дальность полёта). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол броска к горизонту.

22. Камень, брошенный горизонтально, через время с после начала движения имел скорость в 1,5 раза большую скорости в момент бросания. С какой скоростью брошен камень?

23. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии см ближе к оси колеса.

24. Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N =75 об. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

25. Точка движется по окружности радиусом см с постоянным тангенциальным ускорением . Найти нормальное ускорение точки через время с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки см/с.

26. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением , где м/с и м/с². Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное , нормальное и полное а ускорения через время с после начала движения, если известно, что при с нормальное ускорение точки м/с².

27. Колесо радиусом м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением , где рад/с и рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время с после начала движения: а) угловую скорость ;

б) линейную скорость ; в) угловое ускорение ; д) тангенциальное и нормальное ускорения.

28. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением , где рад/с, рад/с² и рад/с³. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение м/с².

29. Во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол с вектором ее линейной скорости?

30. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) высоту подъёма тела; 2) дальность полёта (по горизонтали) тела; 3) время его движения.

31. Тело брошено горизонтально со скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через с после начала движения.

32. С башни высотой в горизонтальном направленииброшено тело с начальной скоростью . Определите: 1) уравнение траектории тела ; 2) скорость тела в момент падения на Землю; 3) угол , который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.

33. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом , задаётся уравнением

Определитете:

1)тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время после начала движения; 3) Полное ускорение для момента времени .

34. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом м задается уравнением ( м/c², м/с). Определите для момента времени с после начала движения ускорение: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное.

35. Тело брошено горизонтально со скоростью м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через c после начала движения.

36. Линейная скорость точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.

37. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением рад/с². Определите радиус колеса, если через с после начала движения полное ускорение колеса м/с².

38. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения c^-1, после выключения тока, сделав оборотов, остановился. Определите угловое ускорение якоря.

39. Точка движется по окружности радиусом см с постоянным тангенциальным ускорением . К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки см/c. Определите нормальное ускорение точки через c после начала движения.

40. Диск радиусом cм вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением ( рад/c, рад/с², рад/с³). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ; 2) нормальное ускорение ;

3) полное ускорение .