1. Гармонические колебания. Сложение колебаний. Маятники. Примеры решения задач

Пример 1.

Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания амплитудой А=8 см, если за t=1 мин совершается N=120 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.

Дано Решение

А=8 см=8·10­2м, t = 1 мин=60 с, N= 120, =45°	Уравнение гармонического колебания имеет вид где А– амплитуда колебания, – циклическая частота, – начальная фаза. Поскольку А и известны, остается только определить циклическую частоту , которая равна , где Т– период колебаний, т.е. время за которое совершается одно полное колебание.
x(t)- ?

Итак, ,

тогда движение будет иметь вид:

Ответ : .

Пример 2.

Точка совершает гармонические колебания по закону м. Определите: 1) период Т колебаний; 2) максимальную скорость точки; 3) максимальное ускорение точки.

Дано Решение

м	Уравнение гармонических колебаний имеет вид В нашем случае А=3 м, рад/с, . Скорость колеблющейся точки – это первая производная от смещения по времени
1)Т ? 2) 3)

Максимальная скорость достигается при значении и тогда .

Ускорение точки– это первая производная от скорости по времени, то есть

Считаем при максимальном ускорении следовательно Период колебаний находим по формуле:

Подставляем числовые значения и определяем и :

м/с; .

Ответ: 1) Т= 4 с; 2) м/с; 3)

Пример 3.

Наибольшее смещение точки, совершающей гармонические колебания, равно наибольшая скорость – Найдите циклическую частоту колебаний , максимальное ускорение точки и период колебаний .

Дано Решение

	Запишем уравнение гармонических колебаний: , (6.1) где - амплитуда колебаний; - циклическая частота; - начальная фаза.

Взяв первую производную смещения (6.1) по времени, найдём скорость колебаний:

, (6.2)

а вторая производная определяет ускорение колеблющейся точки:

. (6.3)

Из уравнений (6.2) и (6.3) найдём максимальные значения скорости и ускорения, приравняв соответственно и к минус единице:

, (6.4)

. (6.5)

Из выражения (6.4) найдём циклическую частоту:

и, подставив её в уравнение (6.5) получим:

Определим период колебаний:

,

Ответ: .

Пример 4.

Материальная точка массой m=10г совершает колебания вдоль оси x около положения равновесия х=0 по закону Период колебаний Т=1 с, начальная фаза φ₀=30°, максимальная кинетическая энергия составляет =10 мДж. Найти: а) круговую частоту ω, б) амплитуду А колебаний, в) максимальное значение скорости , г) смещение колеблющейся точки в момент времени t=0.

Дано Решение

m=10г =10-2кг, Т=1 с , ω=6,28 рад/с, φ=30°, =10 мДж	Круговая частота ω находится из соотношения Так как период колебаний Т=1 с, тогда рад/с. Чтобы найти амплитуду А колебаний, воспользуемся формулой:
ω ?, А ?, ?, ?

где скорость – первая производная от координаты х, по времени, т.е.

Максимальное значение скорости С учетом этого соотношения выражение (6.6) принимает вид:

Отсюда амплитуда колебаний:

Максимальное значение скорости согласно (1):

Подставляя численные данные, находим А и _max:

Величину смещения в момент времени t=0 находим из выражения где начальная фаза φ=30°. Итак,

Подставив численные данные в (6.10), получаем =0,11 м.

Ответ: а) ω=6,28 рад/с; б) А=0,23 м; в) =1,41 м/с; г) =0,11 м.

Пример 5.

Материальная точка массой 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнения которых имеют вид: м. Найти возвращающую силу в момент времени 0,1 с и полную энергию точки.

Дано Решение

m= 0,01 кг, t= 0,1 с,	Возвращающая сила при гармонических колебаниях определяется следующим выражением где – ускорение колеблющейся точки, которое равно второй производной от смещения по времени:
-? -?

Тогда

Подставляем численные значения величин, входящих в формулу для из условия задачи, а также из уравнения колебания: А= 0,2 м, =8 рад/с, получаем:

(Н).

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия при колебательном движении будет равна максимальной кинетической энергии:

так как

Найдем значение полной энергии, подставив в уравнение для Е численные значения:

= 0,126 (Дж).

Ответ: Н; Дж.

Пример 6.

Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия груза составляет 0,8 Дж.

Дано Решение

А = 8см = 8·10-2м, = 0,8 Дж.	В случае гармонических колебаний полная механическая энергия E колебательной системы остается постоянной и равной
K – ?

где – это максимальные кинетическая и потенциальная энергии груза.

Потенциальная энергия и ее максимальное значение определяются по формулам:

,

где x – растяжение пружины, k – ее жесткость, а x_max – максимальное растяжение пружины, равное амплитуде А колебаний.

Итак,

Отсюда

Ответ:

Пример 7.

Разность двух фаз одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода T = 4с и одинаковой амплитуды А = 5см составляет . Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного их них равна нулю.

Дано Решение

T = 4с, A1=A2=5 cм, ,	Запишем уравнения складываемых гармонических колебаний:
–?

Результирующее колебание имеет вид:

,

где – амплитуда, – начальная фаза результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм дает для и следующие выражения:

По условию задачи A₁= A₂; ; , поэтому

,

Найдем частоту колебаний

.

Итак, результирующее колебание будет определяться выражением:

Ответ:

Пример 8.

Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями и . Определите уравнение траектории точки и вычертите ее с нанесением масштаба.

Дано Решение

,	Чтобы найти уравнение траектории точки, нужно исключить параметр t – время из уравнений для x и y. Воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством, которое позволяет перейти от двойного угла к обычному углу:
y = y(x) – ?

По условию задачи , а . Таким образом, траектория движения точки имеет вид:

или

Пример 9.

Точка одновременно совершает гармонические колебания, происходящие по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемые уравнениями и , где , . Найдите уравнение траектории и постройте её, указав направление движения.

Дано Решение

	Измерение амплитуд и смещений колебаний целесообразно оставить в сантиметрах. По условию задачи: (6.11) (6.11) (6.12) (6.12) Исключая из уравнений (6.11) и (6.12) параметр ,

с помощью основного тригонометрического тождества , получим:

Траектория представляет собой эллипс с полуосями и .

Направление движения точки по эллипсу определим, построив таблицу (6.1). Время выразим через период колебаний .

Таблица 6.1

	0
	0	0,5	0	- 0,5	0
	2	0	- 2	0	2

Ответ: эллипс, – движение происходит по часовой стрелке.

Задача 10.

Определите период колебаний математического маятника с длинной нити , поднимающегося вверх с ускорением

Дано Решение

	Колебания маятника, поднимающегося с ускорением , эквиваленты колебаниям маятника в поле силы тяжести с ускорением , если маятник поднимается вверх, и , когда маятник опускается вниз.

Таким образом, в нашем случае период колебания математического маятника будет определяться так:

,

Ответ:

Задача 11.

Тонкий невесомый стержень длиной с грузиками на концах массой колеблется около горизонтальной оси (см. рис.). Определите приведённую длину и период колебаний такого маятника, если расстояние .

Дано Решение

Приведённая длина физического маятника

(6,13)

а период колебаний

, (6.14)

где – момент инерции маятника относительно оси колебаний (точки О). Масса маятника , (6.15)

– расстояние от оси вращения до центра инерции маятника (точки С),

. (6.16)

Считая грузики за материальные точки, найдём момент инерции маятника относительно оси вращения (точки О):

, где , , поэтому

. (6.17)

Из уравнений (6.13), (6.15) – (6.17) определим приведённую длину маятника:

Приведём вычисление

.

По формуле (6.14) найдём период колебаний маятника:

,

Ответ: ;

Задачи.

121. Материальная точка массой совершает колебания вдоль оси около положения равновесия по закону . Амплитуда колебаний составляет см, начальная фаза , период колебаний . В момент времени найти : а) силу F, действующую на данную точку, б) кинетическую энергию точки.

122. Материальная точка совершает колебания около положения равновесия по закону , где амплитуда см, период колебания с и начальная фаза . Найти смещения и колеблющейся точки от положения равновесия в моменты времени с и с.

123. Частица совершает колебания около положения равновесия по гармоническому закону. Период колебаний с. В момент времени смещение точки из положения равновесия см и скорость м/с. Найти амплитуду А колебаний.

103. Материальная точка совершает колебания по гармоническому закону около положения равновесия. Амплитуда колебаний м, период колебаний с. Найти максимальное значение скорости и ускорение

124. Частица массой г совершает колебания вдоль оси по закону . При этом максимальное значение кинетической энергии частицы Дж. Найти амплитуду А колебаний.

125. Тонкий однородный стержень длиной см совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его верхний конец. Момент инерции стержня . Трения нет. Найти период колебаний.

126. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами см и см складываются в одно колебание с амплитудой см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

127. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода: и , где см; с^-1; с. Найти уравнение результирующего колебания.

128. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами с и амплитудами см. Начальные фазы колебаний и . Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Найти его уравнение.

129. Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение . Найти угловую частоту колебаний, их период и амплитуду . Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.

130. Колебания материальной точки массой г происходят согласно уравнению , где Определить максимальные значения возвращающейся силы и кинетической энергии .

131. Найти возвращающую силу в момент и полную энергию материальной точки, совершающей колебания по закону где Масса материальной точки равна 10 г.

132. Диск радиусом колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведённую длину и период колебаний такого маятника.

133. Математический маятник длиной и физический маятник в виде тонкого однородного стержня длиной синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние центра масс стержня от оси колебаний.

134. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень массой с укреплённым на нём маленьким шариком массой . Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить период гармонических колебаний маятника для случаев а, б, в, г, изображённых на рис. 6.8. Длина стержня равна 1 м. Шарик рассматривать как материальную точку.

135. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине её максимальной скорости.

136. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению.

137. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуда колебаний и Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) Колебания совершаются в одном направлении, 2) Колебания взаимно перпендикулярны.

138. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях и . Найти траекторию результирующего движения точки.

139. Материальная точка совершает колебания по гармоническому закону около положения равновесия. Амплитуда колебаний м, период колебаний с. Найти максимальное значение скорости и ускорение

140. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия, равном 2,4 см, скорость точки равна 3 см/сек, а при смещении,равном 2,8 см, скорость равна 2 см/сек. Найти амплитуду и период колебания.