7.3.5. Нерегулярное волнение и его представление

Наблюдая в море за ветровым волнением, можно отметить отсутствие какой-либо видимой закономерности в элементах и форме чередующихся вершин и впадин, образующих взволнованную поверхность. Такое волнение, называемое нерегулярным, служит предпосылкой к рассмотрению его как случайного процесса и применению к его изучению методов теории вероятностей и математической статистики. Источником данных для исследования нерегулярного волнения служат записи изменения во времени уровня волновой поверхности в фиксированной точке моря, которые производятся различного типа волнографами. Типичный образец записи (волнограммы) приведен на рис. 7.13. Реже используется фиксация взволнованной поверхности в некоторый момент времени с помощью стереофотосъемки.

Записи, дающие конкретный вид случайной функции, отображающей рассматриваемый процесс, называется реализациями случайной функции. Значение случайной функции при конкретном частном значении аргумента есть случайная величина в обычном смысле этого понятия.

О чевидно, что уровень поверхности моря в данной точке, изображаемый ордина-тами волнограммы, является непрерывной случайной величиной, т. е. такой, значения которой сплошь заполняют диапазон, ограниченный наименьшим и наибольшим значениями ординат данной реализации. Такие случайные величины с вероятностной точки зрения полностью определяются заданием плотности распределения (плотности вероятности), которая представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной величины в один из малых интервалов, на которые подразделяется весь диапазон ее значений, к длине этого интервала при стремлении последнего к нулю. Однако для решения многих практических вопросов нет надобности полностью описывать случайную величину ее плотностью распределения. Часто бывает достаточно ограничиться численными характеристиками, выражающими основные черты закона распределения. Важнейшими такими характеристиками являются:

математическое ожидание , представляющее собой среднее значение случайной величины, около которого группируются ее значения;

дисперсия , характеризующая разбросанность случайной величины и определяемая средним значением квадратов отклонений случайных величин от математического ожидания, либо среднеквадратическое отклонение (или стандарт) , связанное с дисперсией соотношением

. (7.51)

О бработка многочисленных записей волнения в различных морях показывает, что нерегулярное волнение является нормальным, или гауссовым, процессом, т. е. что совокупность ординат волнограмм распределена по нормальному закону (закону Гаусса), с нулевым математическим ожиданием, если ординаты измеряются от уровня спокойной воды. Это иллюстрируется рис. 7.14, на котором ступенчатая кривая (гистограмма) получена обработкой записи волнения и площадь каждого столбика дает статистическую вероятность попадания ординат волнограммы в соответствующий интервал значений, отложенных по горизонтали, а сплошной линией изображен нормальный закон распределения плотности вероятности, определяемый выражением

, (7.52)

где – дисперсия ординат волнения.

Рис. 7.14 показывает хорошее соответствие статистической и теоретической кривых.

Из понятия плотности вероятности очевидно, что вероятность попадания ординаты в диапазон, ограниченный какими-либо значениями и определяется площадью под кривой между этими значениями (на рис. 7.15 она заштрихована). Эта вероятность может быть записана в виде

, (7.53)

где обозначает вероятность события, указанного в скобках.

Подстановка приводит выражение (7.53) к виду

. (7.54)

Этот интеграл не выражается через элементарные функции, но он может быть представлен через функцию Лапласа , называемую также интегралом вероятности:

. (7.55)

Отметим следующие свойства этой функции: .

Используя функцию Лапласа, выражение (7.54) можно записать в виде

. (7.56)

Устремляя здесь , получим вероятность появления не превышающей :

. (7.57)

Если же в формуле (7.56) устремить , то получим вероятность появления , превышающей :

. (7.58)

В теории случайных функций показывается, что если ординаты колебательного процесса распределены по нормальному закону, то его амплитуды следуют закону Рэлея

(7.59)

Вид закона Рэлея представлен на рис. 7.16.

Аналогично предыдущему закон Рэлея позволяет вычислять вероятность превышения или непревышения амплитудой заданного значения. Для практических целей особенно важным является определение вероятности появления амплитуд, превышающих заданную величину . Эта вероятность называется обеспеченностью. Очевидно, что обеспеченность определится выражением . Интеграл в правой части вычисляется элементарно и мы получим:

. (7.60)

Эта же зависимость позволяет решать обратную задачу, т. е. определять амплитуду заданной обеспеченности. Логарифмируя равенство (7.60),найдем: , откуда получим

, (7.61)

где обозначено

. (7.62)

Вычисленные по формуле (7.62) значения коэффициента для различной обеспеченности, выраженной в процентах, приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3. – Коэффициенты для различной обеспеченности

%	0,1	0,5	1	2	3	5	10	20	30	40	50	60	70	80	90
k	3,70	3,25	3,04	2,79	2,64	2,44	2,15	1,79	1,56	1,36	1,18	1,01	0,8,5	0,67	0,45

Высота волны (удвоенная амплитуда) определенной обеспеченности является удобной характеристикой интенсивности волнения. В частности, шкала степени волнения в баллах, принятая Главным гидрографическим управлением, составлена по градациям высот волн 3%-ной обеспеченности. Эта шкала приведена в табл. 7.4.

Таблица 7.4. – Шкала степени волнения Главного управления гидрометслужбы, 1953 г.

Степень волнения в баллах	Высота волны 3%-ной обеспеченности, м	Словесная характеристика волнения
I	0–0,25	Слабое
II	0,25–0,75	Умеренное
III	0,75–1,25	Значительное
IV	1,25–2,00	Значительное
V	2,00–3,5	Сильное
VI	3,5–6,0	Сильное
VII	6,0–8,5	Очень сильное
VIII	8,5–11,0	Очень сильное
IX	Более 11	Исключительное

Данные по экспериментальным значениям высот волн, которые появляются один раз за 30 и более лет, для некоторых зон океанов приведены в табл. 7.5.

Таблица 7.5. – Наибольшие высоты волн

Зона океана	,м	, м
Умеренная зона Северной Атлантики (40–60° с.ш.)	20	28
Умеренная зона Южной Атлантики (40– 60° ю.ш.) и Индийский океан	23	32
Северная (25– 50° с.ш.) и южная (42– 55° ю.ш.) части Тихого океана	21	30

Зная высоты волны 3%-ной обеспеченности, можно, пользуясь формулами (7.61) и значением из табл. 7.3, вычислить дисперсию волновых ординат:

. (7.63)

Степень интенсивности волнения часто приходится оценивать визуальным наблюдением с ходового мостика. Проведенные сопоставления между глазомерной оценкой волнения и инструментальной записью того же волнения показали, что средние значения высот волн, которые наблюдатель определяет как характеризующие степень волнения, имеют различную обеспеченность в зависимости от балльности волнения и высоты глаза наблюдателя. На основе статистической обработки результатов большого числа синхронно проведенных измерений и наблюдений волнения с отечественных и зарубежных судов получены осредненные соотношения между и

, (7.64)

значения которых приведены в табл. 7.6.

Таблица 7.6. – Значения коэффициентов

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	1,30	1,27	1,25	1,23	1,20	1,17	1,16	1,15	1,13	1,10	1,08	1,07	1,07	1,06	1,05	1,04

Это соотношение следует учитывать при установлении балльности волнения на основе визуальных наблюдений волн.

В зарубежной литературе принято считать, что наблюдатели обычно фиксируют среднюю высоту одной трети наиболее высоких из наблюдаемых волн; их называют значительными волнами и обозначают . Связь между волнами 3%-ной обеспеченности и значительными волнами выражается соотношением .

Рассмотренные выше характеристики нерегулярного волнения, определенные методами математической статистики, не дают возможности получить характеристики процесса качки судна. Для этой цели используется спектральное представление нерегулярного волнения. В соответствии с этим представлением нерегулярное волнение рассматривается как результат наложения неограниченного числа простых гармонических волн со случайными амплитудами и фазами, частоты которых сплошным образом заполняют числовую полуось (0, ). Сам же спектр волнения характеризует распределение энергии волнового процесса по частотам составляющих его гармоник.

Представляя запись волнения в виде ряда Фурье и строя гистограмму с площадями столбиков, пропорциональными суммарной энергии волновых гармоник, частоты которых попадают в интервал , получим приближенное распределение энергии волнения по частотам составляющих гармоник. Аппроксимация ступенчатой диаграммы каким-либо аналитическим выражением даст кривую, ординаты которой можно рассматривать как предел: . Функция называется спектральной плотностью волнения, а графическое ее изображение – энергетическим спектром волнения.

Согласно формуле (7.34) энергия, приходящаяся на единицу площади гармонической волны, пропорциональна , где ее амплитуда. Не трудно видеть, что и дисперсия гармонического процесса равна этой же величине. Действительно, вычисляя дисперсию как среднее значение квадрата ординат процесса за период , получим:

,

т. е. дисперсия ординат волнения пропорциональна энергии волнения, в связи с чем энергетический спектр волнения называют также спектром дисперсий.

Из сказанного выше очевидно, что площадь, ограниченная спектром волнения, пропорциональна полной энергии волнения и равна дисперсии волнового процесса:

. (7.65)

Это соотношение выражает одну из связей между спектральным представлением процесса волнения и его вероятностными характеристиками, рассмотренными выше.

Другую связь дает формула для среднего периода процесса

, (7.66)

где величина

(7.67)

представляет собой дисперсию скорости изменения уровня волновой поверхности.

Зависимость от высоты волны 3%-ной обеспеченности для развивающегося, развитого и затухающего волнений показана на рис. 7.17.

С понятием спектра связано представление о стационарности процесса. Под стационарным понимается такой процесс, спектральный состав которого не изменяется с течением времени.

Если наблюдать за развитием волнения под действием ветра, то можно увидеть, как на первоначально спокойной поверхности моря образуется рябь, представляемая гармониками высоких частот. По мере развития волнения в составе спектра будут возрастать составляющие низких частот. Co временем состав спектра будет стабилизироваться, и при неизменной силе ветра установится некоторый постоянный спектр, соответствующий вполне развитому волнению. Такое волнение и будет представлять стационарный случайный процесс. При затухании волнения прежде всего начнут исчезать высокочастотные гармоники и спектр будет сужаться в сторону меньших частот.

П рактическое получение спектров волнения основывается на свойстве эргодичности, которое заключается в том, что одна реализация случайного процесса достаточной продолжительности мо-жет заменить множество реализаций той же суммарной продолжи-тельности, в том и другом случае статистические характеристики процесса будут одинаковыми.

Практика показывает, что для целей исследования качки судна необходимо иметь запись волнения, содержащую 120–150 последовательных волн, что обычно соответствует 20–30 минутной непрерывной записи волнографа.

При расчетах качки используют аналитические выражения для спектра волновых ординат, которые были предложены многими авторами. В отечественной практике пользуются спектром, заданным отраслевым стандартом 1981 г. Приведенное в стандарте выражение может быть представлено в виде

, (7.68)

где обозначено принимается по рис.7.17 для развитого волнения, а функция определяется выражением

, (7.69)

ее график изображен на рис. 7.18.

Р ассмотренное выше представление нерегулярного волнения относится к случаю зыби, когда вся энергия волнения сосредоточена в системе волн одного направления. Такое волнение является двухмерным, а его спектр – функцией только частоты и называется одномерным. Для ветрового волнения рассматривают модель трехмерного нерегулярного волнения, характеризуемого двухмерным спектром. В такой модели считается, что волнение состоит из волн, распространяющихся из разных направлений, определяемых углом относительно генерального (господствующего) направления, и полная энергия волнения имеет угловое распределение, симметричное относительно генерального направления. В этом случае спектр волнения обычно представляют в виде произведения одномерного спектра и функции распределения энергии по углу , причем в практике расчетов качки наиболее удовлетворительным считается распределение по закону . В этом случае энергетический спектр трехмерного волнения задается выражением

, (7.70)

где по-прежнему определяется формулами (7.68) и (7.69).