4.3. Аналитические выражения для плеча остойчивости

Пусть на рис.4.3 – перемещение центра величины при наклонении судна от угла до угла . Здесь через обозначен текущий угол крена. Тогда для приращений координат ЦВ можно написать:

(4.1)

Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до и учитывая начальные координаты ЦВ, получим:

(4.2)

Рисунок 4. 3. К вычислению координат ЦВ и метацентра

Формулы (4.2) можно рассматривать как параметрическое задание кривой , в которых параметром является угол .

Из того же рис.4.3 для координат метацентра следуют выражения:

(4.3)

которые через тот же параметр задают кривую метацентров .

Чтобы получить выражение для плеча остойчивости, обратимся к рис.4.4, на котором изображены сила тяжести и сила плавучести , приложенные в точках и . Проведем вспомогательную линию перпендикулярно линии действия силы плавучести . Из рисунка видно, что плечо остойчивости равно: .

Рисунок 4. 4. Определение плеча остойчивости

Но отрезок определяется суммой проекций на него перемещений ЦВ и :

,

а отрезок равен проекции отрезка на то же направление:

,

и для плеча остойчивости получим выражение:

. (4.4)

Отрезок представляет собой плечо силы плавучести, измеренное от начального положения центра величины , и для данного угла крена определяется только положением точки , т.е. формой погруженного объема, в связи с чем это плечо называют плечом остойчивости формы и обозначают . Отрезок есть плечо силы веса судна относительно той же точки , зависящее от положения центра тяжести судна, его называют плечом остойчивости веса и обозначают . В этих обозначениях выражение для плеча остойчивости запишется в виде:

. (4.5)

4.4. Диаграмма статической остойчивости

Рисунок 4. 5. Диаграмма статической остойчивости и ее параметры

Полярная диаграмма хотя и наглядна, но неудобна для практического пользования. Поэтому зависимость плеча восстанавливающего момента от угла крена изображают в прямоугольных координатах, откладывая по оси абсцисс углы крена в градусах, а по оси ординат – плечи остойчивости в метрах. Кривая, представляющая эту зависимость, называется диаграммой статической остойчивости или диаграммой Рида. Поскольку диаграмма строится для постоянного водоизмещения, она же изображает зависимость восстанавливающего момента от угла крена, для чего масштаб момента можно также нанести на оси ординат. Диаграмма статической остойчивости изображена на рис.4.5.

Ввиду симметрии формы судна диаграмма строится только для положительных углов крена (на правый борт). При крене на противоположный борт ( ) диаграмма продолжается как нечетная функция:

.

Характерными параметрами диаграммы являются: крутизна начального участка, максимальное плечо остойчивости , угол максимума диаграммы , угол заката диаграммы (при котором плечо остойчивости обращается в нуль), площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс. Эти параметры характеризуют остойчивость на больших углах крена.

Рассмотрим свойства диаграммы статической остойчивости и ее связь с метацентрической эволютой. Из выражения (4.4) для производной плеча остойчивости по углу крена найдем:

,

но из (4.1) имеем:

и после подстановки для производной получим выражение:

.

Из рис.4.4 видно, что последние три слагаемых правой части изображаются отрезком с отрицательным знаком, а следовательно производная изображается отрезком . Но этот отрезок есть измеренное по вертикали возвышение метацентра над центром тяжести , его обозначают и называют обобщенной метацентрической высотой:

. (4.6)

При перемещения центра величины и стремятся к нулю и для получим:

,

т.е. при производная плеча остойчивости по углу крена равна начальной метацентрической высоте. Это ясно и из рис.4.2, так как при имеем , и, значит, .

Из той же формулы (4.6) следует, что максимуму диаграммы соответствует угол , при котором , т.е. точки и совпадают. На полярной диаграмме рис.4.2 это соответствует углу, при котором отрезок нормален к метацентрической обертке.

Свойством касательной пользуются для уточнения начального участка диаграммы. Для построения касательной на рис.4.5 по оси абсцисс откладывают отрезок , равный одному радиану (57,3°), а по перпендикуляру к оси – отрезок , равный . Прямая и будет касательной к диаграмме в начале координат. Возможно и обратное использование свойства касательной – для определения по диаграмме начальной метацентрической высоты. Однако, ввиду погрешности при графическом проведении касательной и погрешности в построении диаграммы, такой способ не может обеспечить хорошей точности определения метацентрической высоты.

Уравнение касательной как прямой, исходящей из начала координат с угловым коэффициентом , в осях и имеет вид: , т.е. изображает зависимость плеча остойчивости, даваемую линейной метацентрической формулой остойчивости. На том же рис.4.5 изображена синусоидальная метацентрическая формула: . Из рисунка видно, что при малых углах крена все три зависимости близки между собой и можно пользоваться простейшей из них – линейной. С увеличением угла крена погрешность метацентрических формул становится существенной, а далее – недопустимой.

Рисунок 4. 6. Различные типы диаграмм статической остойчивости

Диапазон углов применимости метацентрических формул зависит от вида диаграммы статической остойчивости и требуемой точности. Практически принято ими пользоваться до углов крена 10-12°.

В зависимости от соотношений главных размерений и состояния нагрузки судна типы диаграмм остойчивости отличаются характерными особенностями. У судов с большим отношением ширины к осадке, обладающих большой метацентрической высотой, диаграмма имеет вид выпуклой кривой, расположенной под начальной касательной на рис.4.6(а). Такой вид имеет диаграмма остойчивости у танкеров, балкеров и других судов, перевозящих грузы с малым удельным погрузочным объемом.

Для судов с высоким надводным бортом и малой начальной метацентрической высотой характерна диаграмма с точкой перегиба и начальным участком, идущим выше касательной рис.4.6(б). Диаграммы такого вида имеют пассажирские суда, контейнеровозы. Диаграмму первого типа называют мягкой, а второго – жесткой. Эти названия связаны с тем, что в первом случае возрастание восстанавливающего момента на начальном участке происходит медленнее, чем по линейному закону, а во втором – быстрее. Заметим, что тип диаграммы может быть разным у одного и того же судна в зависимости от величины начальной метацентрической высоты, определяемой его загрузкой.

При отрицательной начальной метацентрической высоте диаграмма имеет вид, изображенный на рис.4.6(в). В этом случае начальный участок диаграммы расположен под осью абсцисс, прямое положение судна неустойчиво и оно будет плавать с углом крена , соответствующим устойчивому положению равновесия.

У судов низкобортных с развитыми надстройками (некоторые типы рыболовных судов) встречаются диаграммы с двумя максимумами (двугорбые), как на рис.4.6(г).