29. Производные и дифференциалы высших порядков. Приближенные вычисления.

Производные и дифференциалы высших порядков:

Производной второго порядка функции называется производная от производной функции . Аналогично определяются производные третьего, четвертого и т.д. порядка. . Производной -ного порядка функции называется производная от производной в порядке .

Механический смысл 2 производной: – мгновенная скорость в момент времени . – ускорение.

Приближенные вычисления: - формула для вычисления приближенных значений функции в точке

30. Исследование функции с помощью производной и построение графика функции.

Если на промежутке значение производной больше 0 , то функция на этом промежутке возрастает.

Если на промежутке значение производной меньше 0 , то функция на этом промежутке возрастает.

Точки, в которых производная равна 0 или не существует называются критическими.

Если точка является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то значение производной в этой точке равно 0 .

Если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то точка – точка максимума.

Если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то точка – точка минимума.

31. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Правило:

1. Найти все точки, принадлежащие отрезку (а, b), в котором производная равна 0 или не существует.

Определение:

Точки, в которых производная существует и не равна 0, называются стационарными.

Точки, в которых производная не существует или равна 0, называются критическими.

1. Найти значения функции в полученных точках и на концах отрезка.

2. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее

32. Частные производные. Дифференциал частной функции.

Частные производные:

– функция зависит от 2 переменных.

Придадим в т. приращение оставляя значения перемененной неизменным. . Если существует предел при , то он называется частной производной по переменной

Если

Если

Частная производная от частной производной по переменным называются частными производными второго порядка. . – смешанные частные производные второго порядка

Дифференциал высших порядков:

называют дифференциалом 1 порядка. Дифференциал от дифференциала называют дифференциалом 2 порядка и он вычисляется по формуле: