21. Парабола. Каноническое уравнения параболы, случаи.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом. И от данной прямой, не проходящей через данную точку и называемой директрисой.

Расстояния от фокуса до директрисы называется параметром параболы . .

22. Числовые последовательности. Монотонные, ограниченные последовательности. Окрестность точки.

Числовой последовательностью называется любая функция вида (функция отображает множество натуральных чисел в множестве действительных чисел)

– числовая последовательность. , где – первый член числовой последовательности, – второй член последовательности, – n-ный член последовательности.

Если знать что n-член числовой последовательности, можно найти все остальные члены числовой последовательности и – общий член числовой последовательности.

Окрестностью точки является любой промежуток (интервал), содержащий эту точку.

23. Предел последовательности, свойства предела. Раскрытие неопределенностей.

Число называется пределом числовой последовательности , если при любой окрестности точки существует окрестность стремящаяся к бесконечности такая, что для любого , причем , выполняется, что – общий член окрестности принадлежит окрестности точки .

Свойства предела:

Постоянный множитель  c  можно выносить за знак предела:

24. Предел функции. Замечательные пределы.

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки , без самой точки . Точка называется пределом функции в точке , если для любой точки окрестности точки существует окрестность такая, что для любого из области определения и проколотой окрестности точки выполняется, что значение функции в точке принадлежит окрестности точки . .

Теорема 1 (единственный предел): Если существует предел функции в точке ,, то он единственный.

Замечательные пределы:

. Следствия:

Замечание: Следствия:

25. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Функции α(x) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка, если

Бесконечно малые функции α(x) и β(х) называются эквивалентными, если .

- приращение функции. .

– приращение функции

26. Определение производной. Теорема о дифференцируемости функции.

Функция называется дифференцируемой в т. , если ее приращение можно представить в виде: (1)

Если предел 1 существует, и он конечный, то говорят, что это и есть значение производной функции в т. .

Теорема: Функция дифференцируема в т. ↔ она имеет конечную производную в т. .

- дифференциал функции в т. .

– дифференциал = число

– функция

27. Правила и формулы дифференцирования.

Константа –

Сумма/Разность –

Произведение –

Частное –

28. Геометрический и физический смысл производной.

Геометрический смысл:

Теорема: Если функция дифференцируема в т. , то существует касательная к графику функции в т. ; и ее уравнение имеет вид

– уравнение касательной

– уравнение нормали

Замечание: Значение производной в т. геометрически означает угловой коэффициент касательной к графику функции в т. ;

Физический смысл:

– это путь, пройденный материальной точкой за промежуток

– средняя скорость движения материальной точки за время

– мгновенная скорость материальной точки за время

– путь, пройденный материальной точкой равномерно со скоростью за время