6. Определители. Свойства определителей. Вычисление определителей 2-го порядка и 3-го порядка.

Пусть дана квадратная матрица . Определитель – произведение элементов матрицы A, взятых по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например:.

Матрица – транспонированная, если она получена из матрицы , заменой строк матрицы на столбцы с теми же номерами. Например: .

Свойства определителей:

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной квадратной матрицы.

2. При перестановке двух столбцов матрицы знак определителя изменится.

3. В матрице имеющей два одинаковых столбца, определитель равен 0.

4. Если в матрице определителя какой-либо столбец представлен как сумма двух столбцов, то определитель этой матрицы может быть представлен в виде суммы двух определителей у каждого из которых в матрице это строка заменена одной из слагаемых строк.

7. Определители. Свойства определителей. Вычисление определителей с помощью алгебраических дополнений и миноров.

Свойства определителей:

5. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной квадратной матрицы.

6. При перестановке двух столбцов матрицы знак определителя изменится.

7. В матрице имеющей два одинаковых столбца, определитель равен 0.

8. Если в матрице определителя А какой-либо столбец представлен как сумма двух столбцов, то определитель этой матрицы может быть представлен в виде суммы двух определителей у каждого из которых в матрице А это строка заменена одной из слагаемых строк.

8. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

Системой линейных алгебраических уравнений является система уравнений вида

Решением системных линейных алгебраических уравнений называется упорядоченная последовательность чисел, при подстановке которых в систему, система обращается в систему истинных равенств.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если решения нет, то она называется совместной. Если решения нет, то она называется несовместной.

Рассмотрим систему , составим матрицу из коэффициентов системы:

Правила Крамера:

Если определитель матрицы А не равен 0, то система совместна и ее решение единственное. Это решение может быть найдено по правилу Крамера: – определитель, который получается из определителя с заменой i столбца на столбец свободных членов

9. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований. При решении систем уравнений методом Гаусса записывают матрицу, состоящих из коэффициентов. Данная матрица называется расширенной. В расширенной матрице коэффициенты исходной системы сводится к ступенчатой матрице последовательностью элементарных преобразований.

10. Комплексные числа. Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.

Комплексные числа — числа вида  , где   и  — действительные числа,  называется действительной частью комплексного числа , называется мнимой частью комплексного числа , .

Пример решения:

11. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме записи.

 называется алгебраической формой комплексного числа.

12. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

И зображение комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат.

Модуль комплексного числа   обозначается   и определяется выражением  . 

Угол   (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу  называется аргументом числа   и обозначается  .

13. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Плоскость, точки которой сопоставлены комплексным числам, называется комплексной. Ось абсцисс – действительной, а ось ординат – мнимой.

Модулем комплексного числа  называется модуль соответствующему ему вектора .

Аргументом комплексного числа называется величина любого направленного угла , образованного действительной осью и вектором, соответствующим числу

Абсцисса   и ордината   комплексного числа   выражаются через модуль  и аргумент  формулами: Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде: - тригонометрическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами:

 

 

- формула Муавра