Экзаменационные вопросы по математике

1. Матрицы. Элементарные преобразования над матрицами. Ступенчатая матрица. Ранг матрицы.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел и заключенная в круглые скобки.

Числа, входящие в матрицу называются элементами матрицы. Они образуют строки и столбцы.

В общем виде матрицу записывают: ; строк и столбцов. При этом говорят, что размерность .

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1. Перестановка двух каких-либо строк матрицы местами.

2. Умножение всех элементов матрицы на число, не равное нулю

3. Умножение всех элементов какой-нибудь строки матрицы на любое число не равное нулю и прибавление к соответствующим элементам какой-нибудь строки матрицы.

4. Вычеркивание строки, состоящей только из нулевых элементов.

Матрица называется ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:

1. Все ее строки не нулевые.

2. Первый ненулевой элемент начиная со второй строки находится правее первого ненулевого элемента предыдущей строки.

– ступенчатая матрицы, (ранг матрицы)

Ранг матрицы – число ненулевых строк, оставшихся после приведения матрицы к ступенчатой

2. Действия над матрицами.

Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны соответствующие элементы этих матриц.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица, каждой элемент которой равен сумме соответствующих элементов этих матриц.

Произведением матрицы на число α называется матрица α×А, каждый элемент которой равен соответствующему элементу , умноженному на α.

Произведение матрицы на матрицу . Чтобы получить элемент произведения, стоящий в 1 строке 1 столбца, нужно 1 строку матрицы умножить на 1 столбец матрицы и полученные произведения сложить.

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами α₁, α₂, … α_n, и столбцов с номерами β₁, β₂, …, β_n. Пример: Предположим, надо найти дополнительный минор M₂₃. Этот минор, получающийся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3 .

Рассмотрим элемент определителя α_ik, соберем все члены определителя, в которые входит элемент α_ik и вынесем его за скобки. Выражение, оставшееся в скобках обозначим и оно будет называться алгебраическим дополнением α_ik.

4. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы.

Матрица называется обратной матрице , если выполняется: , где – единичная матрица, т.е. матрица вида , и т.д. → . Замечание: не всякая матрица имеет обратную матрицу. Квадратная матрица, имеющая обратную матрицу, называется обратимой.

Теорема 1: Если существует обратная матрица, то она единственная.

Теорема 2: Обратная матрица существует тогда, и только тогда, когда ее определитель не равен 0.

5. Виды матричных уравнений и их решение.

Рассмотрим матричное уравнение вида , где   и   — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица   квадратная.

Если определитель матрицы  отличен от нуля, то матричное уравнение имеет единственное решение  .