21 Вопрос: Пирамида. Правильная пирамида. Усечённая пирамида. Площадь поверхности и объём пирамиды.

Пирамида - это многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где   — площадь основания и   — высота;

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

Правильная пирамида:

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Прямоугольная пирамида:

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида:

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Объём усеченной пирамиды  , где   — площади оснований,   — высота усечённой пирамиды.

22 Вопрос: Цилиндр. Площадь поверхности и объём цилиндра.

Цилиндр – тело, которое состоит из 2 равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Эти круги – основания цилиндра, а отрезки, соединяющие эти круги – образующие.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. . .

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра: 

Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. . .

23 Вопрос: Конус. Площадь поверхности и объём конуса. Усечённый конус.

Конус - тело, которое состоит из круга (основания конуса), и равноудаленных от основания отрезков (образующих конуса), имеющих общий конец, а другой конец лежит на основании конуса.

Объем конуса -

Площадь боковой поверхности такого конуса равна а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания) где R — радиус основания, l — длина образующей.

Объём конуса равен

Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

V= π*h*(r₁²+r₁·r₂+r₂²)

24 Вопрос: Шар и сфера, их сечения. Взаимное расположение плоскости и шара. Формулы объёма шара и площади сферы.

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. 

Площадь поверхности   и объём   шара радиуса   определяются формулами:

, ,

Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.

Площадь сферы

Объём шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы  , где H — высота сегмента, а   — зенитный угол

25 Вопрос: Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Компланарные векторы. Расположение по трём некомпланарным векторам.

Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке 0 и зададим на каждом из них направление. Получится Декартова система координат. Прямые x, y, z – координатные оси, точка 0 – начало координат.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде c = xa+yb, где x и y – некоторые числа, то векторы a, b и c компланарны.

Три некомпланарных вектора  ,   и  , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).

Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов  ,   и   называется левой, если поворот от вектора   к вектору  , видимый с конца третьего вектора  , осуществляется по ходу часовой стрелки.

Тройка векторов  ,   и   называется правой, если поворот от вектора   к вектору  , видимый с конца третьего вектора  , осуществляется против хода часовой стрелки