11.Қатты дененің жазық параллель қозғалысының заңы, оны анықтау тәсілдері қандай?

Қатты дененiң жазық-параллель қозғалысы

Егер қатты дененiң барлық нүктелерi негiзгi деп аталатын тұрақты жазықтыққа параллель қозғалатын болса, онда дененiң мұндай қозғалысын жазық параллель қозғалыс деп атайды.

Дененiң жазық-параллель қозғалысы кезiнде оның барлық нүктелері сол нүктелер арқылы өтетiн негiзгi жазықтыққа параллель жазықтықтарда (2.5-сурет) қозғалады. Олардың траекториялары сол жазықтықтарда жатқан кез келген жазық қисық болуы мүмкiн. Дененiң негiзгi G жазықтығына перпендикуляр кез келген бір түзудiң бойында орналасқан және нүктелерiн қарастырайық. Олар әруақытта өзара параллель сәйкес және жазықтарында жатады және дене абсолют қатты (| |=const) болғандықтан түзуi өзiне-өзi параллель (яғни iлгерiлемелi) қозғалады. Дене нүктелерiнiң G қозғалыс жазықтығынан қашықтықтары әруақытта да тұрақты шамалар болады.

Дене қозғалысын зерттеудiң орнына оның әрбiр нүктесi арқылы қозғалыс жазықтығына перпендикуляр жүргiзiлген түзулер жиынының қозғалысын зерттеуге болар едi. Бұл түзулердiң әрқайсысы iлгерiлемелі қозғалғандықтан олардың қозғалыстарын бiлу үшiн сол түзулерге

перпендикуляр, яғни қозғалыс жазықтығына параллель кез келген қима нүктелерiнiң қозғалыстарын бiлу жеткiлiктi.

Сонымен, қатты дененiң жазық-параллель қозғалысын зерттеу оның қозғалыс жазықтығына параллель кез келген қимасының өз жазықтығында қозғалысын зерттеуге келтiрiледi.

Денелердiң барлық мүмкiн формаларын қамту үшiн бiз кез келген жазық фигураның немесе тіпті қозғалмалы жазықтың өз жазықтығында қозғалысын зерттеймiз.

2.5-сурет 2.6-сурет.

Жазық фигураның оның өз жазықтығында таңдап алынған (2.6-сурет) кез келген қозғалмайтын ξ координаталар системасына қарғандағы орны фигураның кез келген екi нүктесiнiң немесе оларды қосатын кесiндiсiнiң орнымен бiр мәндi анықталады. Бұл нүктелердiң орнын анықтайтын төрт шама мынадай бiртеңдеумен байланысқан:

| | = =const

Демек, олардың тәуелсiз шамасы үшеу-ақ. Осыған сәйкес кесiндiсiнiң ξ системасындағы орны өзара тәуелсiз үш шамамен: оның кез келген бiр ұшының координаталарымен ол кесiндiнiң белгiлi бiр тұрақты осьпен жасайтын бұрышымен (φ=ξ, ^ ) анықталады.

Сонымен, өз жазықтығында қозғалатын жазық фигураның, яғни жазық-параллель қозғалыстағы қатты дененiң еркiндiк дәреже саны үшке тең. Шынында да жазық-параллель қозғалыстағы қатты дененiң (2.5-сурет) бір түзудiң бойында жатпайтын кез келген үш нүктесiнiң тоғыз координатасы ол нүктелердің ара қашықтықтарының және олардың әрқайсысының G қозғалыс жазықтығынан қашықтықтарының тұрақты екенiн өрнектейтiн алты шартпен байлнысқан. Демек дененің кеңiстiктегi орнын бiр мәндi анықтайтын тәуелсiзүш қана координата болғаны.

Жазық фигураның өэ жазықтығындағы қозғалысында онымен өзгермейтiндей боп бекiтiлген кез келген түзудiң (осьтiң белгiлi бiр уақыт аралығында бұрылатын бұрышы фигураның сол уақыт аралығындағы айналу (бұрылу) бұрышы деп аталып, φ арқылы белгiленедi.

12-сұрақ. Қатты дененің қозғалмайтын нүкте төңірегіндегі қозғалысына сипаттама беріңіз.Эйлер бұрыштарының мағынасын түсіңдіріңіз

Бізге бір ғана нүктесі қозғалмайтын қатты дене берілсін.Оның қозғалмайтындай етіп бекітілген нүктесін О деп белгілейік.Дене О нүктесі төңірегінде ғана қозғалады.Бас нүктесі қозғалмайиын нүкте О-да жататындай етіп , О ξŋϚ қозғалмайтын координаттар жүйесін 1-суреттегідей таңдаймыз

Екінші координаттар жүйесі Oxyz-ті денеге қатаң бекітіп аламыз.Сол себепті Oxyz жүйесі денемен бірдей қозғалыс жасайды.Демек,дененің қозғалмайтын О ξŋϚ жүйесіне қатысты қозғалысын зерттеу қозғалмалы Oxyz жүйесінің қозғалысын зерттеуге келтіріледі.Ал қозғалмалы Oxyz жүйе остерінің қозғалмайтын О ξŋϚ жүйеге орналасу жағдайы қандайда өзара тәуелді емес үш түрлі бұрыштармен анықталады.Ондай бұрыштарды қалай алу керек екендігін Эйлер көрсеткен.Ол бұрыштарды деп белгілейді.Эйлер бұрыштарын анықтауға қажет, Oxy қозғалмалы жазықтықтың қозғалмайтын О ξŋ жазықтықпен қиылысу сызығы ON-ді тауып алу керек. ON- сызығын түйіндер сызығы деп атайды.Түйіндер сызығы ON көрсетілген болса,онда = , = = ϚOz. Эйлер бұрыштарын астрономияда қабылданған аттарымен атайтын болсақ: атайды.Бұл бұрыштар өзара тәуелсіз параметрлер болып табылады және мынадай шарттарға бағынады: 0 0 , 0

• Қозғалыс заңы. Дененің бекітілген нүкте О төңірегіндегі қозғалысы кезінде бұл бұрыштар өзгеріп отырады.Дененің бекітілген нүкте төңірегіндегі,яғни О ξŋϚ қозғалмайтын координаттар жүйесіне қатысты орналасу жағдайын білу үшін бұл бұрыштар уақыт t-ға тәуелді функциялар ретінде берілген болу керек: =

• Теңдеу қатты дененің бекітілген нүкте О төңірегіндегі қозғалысының заңы немесе оның кинематикалық теңдеулері деп аталады.

13-сұрақ. Еркін қатты дене қозғалысы. Эйлер-Шаль теоремасының мағынасын түсіндріңіз.

Еркiн қатты дене қозғалысы

Кез келген еркiн қатты дененiң қозғалмайтын ζ координаталар системасына (2.8-сурет) қарағандағы қозғалысын зерттелiк. Ол үшiн ортақ бас нүктелерi дененiң кез келген О нүктесiнде орналасқан денеге бекiтiлген Охуz және осьтерi әруакытта сәйкес қозғалмайтын

2.7-сурет. 2.8-сурет.

осьтерге параллель қосымша Оξ`η`ζ` қозғалмалы координаталар системаларын таңдап алайық.

Шаль теоремасы. Еркiн қатты дененiң кандайда болмасын орынауыстыруын дененi оның кез келген О нуктесiнiң орынауыстыруымен анықталатын iлгерiтемелi көшiру және сол нүкте арқылы өтетiн осьтен айналдыра белгiлi бiр бұрышқа бұру арқылы орындауға болады.

Шынында да дененiң кеңiстiктегi орны кез келген уақыт кезеңiнде қозғалмалы координаталар системаларының ( және ( орындарымен, ал басқа бiр уақыт кезеңiнде ( және ( орындарымен анықталсын делiк. Сонда дененiң - уақыт аралығындағы орынауыстыруын былайша орындауға болады. Дененi қозғалмалы координаталар осьтерiн өздерiне өздерін параллель қалдыра отырып, iлгерiлемелi көшiру арқылы қосымша системаның ( жағдайын оның ( орнымен дәл келтiрейiк. Дене орынауыстыруын толық орынндау үшiн, яғни онымен бiрге бекiтiлген координаталар системасының ( жағдайын оның ( орнына келтiру үшiн бекiтiлген бір нүктесiн (О центрiн) айнала қозғалатын қатты дене үшiн Даламбер теоремасын қолдансақ жеткiлiкті.

Дене қозғалысы үздiксiз болғандықтан оны шексiз аз орынауыстырулардың тiзбегi деп қарауға болады. Шаль теоремасы бойынша олардың әркайсысы дененiң шексiз аз iлгерiлемелi орынауыстыруынан және О нүктесi арқылы өтетiн лездiк айналуосiнен шексiз аз бұрышқа бұрылуынан тұрады. Былайша айтқанда, әрбiр уақыт кезеңiнде еркiн дененiң қозғалысы оның кез келген бір нүктесiнiң қозғалысымен анықталатын ілгерiлемелi қозғалысының және сол нүктенi айнала қозғалысының жинағы болады.

Сонымен қозғалыстағы еркiн қатты дененi кинематикалық тұрғыдан сипаттау үшiн дененiң iлгерiлемелi қозғалысының кинематикалық характистикаларына бекiтiлген бір нүктесiн айнала қозғалатын қатты дененiң сәйкес кинемтикалық характеристикаларын геометриялық әдiспен қоссақ болганы.

14-сұрақ. Нүктенің күрделі (абсолют) қозғалысын түсіндіріңіз және оның теңдеулері. Күрделі қозғалыстағы нүктенің кинематикалық парметрлерін анықтау

Егер екі нүкте екі немесе одан артық қарапайым қозғалыстарға қатысса, онда нүктенің қозғалысын күрделі қозғалыс деп атаймыз.{Мысалы, ұшақтың, кеменің, трамвайдың ішінде кісінің жүруі күрделі қозғалыс болады, өйткені ол, біріншіден, ұшақтың, кеменің, трамвайдың ішінде қозғалады, екіншіден, ұшақпен, кемемен, трамваймен бірге жерге қатысты қозғалады. Судың бетімен келе жатқан қайық та күрделі қозғалыста болады. Ол, біріншіден, суға қатысты қозғалыста, екіншіден, судың тасымал (жерге, жағаға қатысты) қозғалысында болады.}

Бұл тақырыпта нүкте қозғалысының екі координат жүйесіне, яғни қозғалатын Оxyz және де қозғалмайтынОx₁y₁z₁ жүйеге қатысты тексереміз (11.1 сурет).

11.1 сурет

М нүктенің қозғалатын Оxyz координата жүйесіне қатысты қозғалысы-салыстырмалы; қозғалатын жүйемен бірге қозғалысы-тасымалды; қозғалмайтын Оx₁y₁z₁ координат жүйесіне қатысты қозғалысы күрделі (абсолют) қозғалыс деп аталады.

Абсолют қозғалыс заңы мына теңдікпен беріледі: ,z1=z1(t),x1=(t),y1=y1(T) (1)

Салыстырмалы қозғалыс теңдеуі:

r=r(t), x=x(t),z=z(t),y=y(t) (2)

Қозғалыстағы жүйе басының қозғалмайтын жүйеге қатысты радиус-векторын  , М нүктенің қозғалыстағы жүйеге қатысты радиус-векторын r және қозғалмайтын жүйеге қатысты радиус-векторын   мен белгілейміз.

Онда 11.1 суреттен:

= +r ;(3)

материялық нүктенің күрделі қозғалысының заңын өрнектейді

Мұндағы полюс О-ның қозғалмайтын санақ жүйесінің бас нүктесіне қатысты алынған радиус-векторы .Оның координаттары:х0(t), z0(t),y0(t) (4)

(3)-векторлық теңдік еркін қатты дененің кез келген бір нүктесінің радиус-векторының теңдігіндей болып шығады.

Егер нүктенің салыстырмалы қозғалысының теңдеулері және қозғалмалы жүйе Oxyz-ң негізгі санақ жүйесіне қарағандағы қозғалысы берілсе,яғни полюс қозғалысының теңдеулері (4) мен бағыттаушы косинусары Эйлер бұрыштары арқылы өрнектелулері формулалар түрінде берілген болса,онда нүктенің абсолют қозғалысының теңдеулерін анықтауға болады.Ол үшің (3) векторлық теңдікті негізгі санақ жүйесіндегі остер бағытына (2) және (4) теңдеулерді пайдалана отырып проекциялау керек.Сонда координаттарды түрлендіру деп аталатын формулаларға тәріздес болып келетін теңдеулер аламыз:

x1=x0+ x+ y+ z, y1=y0+ x+ y+ z

z1=z0+ x+ y+ z (5)

(5) теңдеулер нүктенің абсолют қозғалысының теңдеулері болады.Салыстырмалы қозғалыс пен тасымал қозғалыс берілген жағдайда (5)теңдіктерінің оң жақтары уақытқа тәуелді функциялар болады,яғни (1)теңдеулері түріндегі абсолют қозғалыс теңдеулері болып табылады.

(5)теңдеулері,екіншіден нүктенің абсолют қозғалысының траекториясының параметрлік теңдеулері болады.Бұл теңдеулердегі параметр ролін атқарушы t-ны жою арқылы абсолюттік траекторияның координаттық теңдеулерін аламыз.Егер нүктенің тасымал қозғалысы жазық болса және оның салыстырмалы қозғалысы да осы жазықтықта орындалатын болса,онда (5) теңдеу оңайланған түрге келеді

X1=x0+x -y , y1=y0+x +y (6)

Тасымал қозғалыстың дербес жағдайына келейік.Ол ілгерімелі қозғалыс болсын дейік.Бұл жағдайда қозғалмалы жүйе остерін негізгі санақ жүйе остеріне паралель болатындай етіп таңдаймыз.Сонда =0 болады. Бұл жағдайда (6)теңдеу мына түрге келеді:

X1=x0+x, y1=y0+y,

Егер тасымал қозғалыс бекітілген ось төңірегіндегі айналмалы қозғалыс жасайтын болса,ал нүктенің салыстырмалы қозғалысы айналу осіне перпендикуляр жазықтықта орындалатын болса,онда санақ жүйелерінің бас нүктелерін айналу осінің бірінде орналастырып,х осімен z остерін осы айналу осімен бағыттауға болады.Абсолют қозғалыс теңдеулерін,осы ұйғарысдар көмегімен пайдалана отырып,(5)теңдеулерден мына түрде жазамыз:

X1=x - y ,y= x +y

15-сұрақ. Статика мәселелері мен оның негізгі аксиомалары қандай? Күш және масса ұғымын түсіндіріңіз.

Статиканың негізгі ұғымдары мен аксиомалары

Статика деген гректiң statike деген сөэiнен шыққан. Грекше бұл бір орында тұру қозғалмау, тыныштықта болу деген сияқты ұғымдарды бiлдiредi. Статика — күш әсерiнiдегi материялық денелердiң тепе теңдiгiн зерттейтiн ғылым. Баяндау тәсiлiне орай ол геометриялық және аналитикалық статика болып ек түрге бөлiнедi. Аналитикалық статикада механикалық системаның ең жалпы тепе-теңдiк шарттары тағайындалады. Мұнда зерттеулер таза аналитикалық тәсiлмсн жүргi зiледi. Аналитикалық статиканың қорытындылары кез келген мехакикалык система үшiн дұрыс болады. Бұл статиканы кейiнрек қарастырамыз. Геометриялық статикада абсолют қатты денелердiң өзiне түсiрілген күштер әсерiнен болатын тепе-теңдiгi жөнiндегi мәселелер қарастырылады. Ондай мәселелердiң өзi екiге бөлiнедi:

1) абсолют қат ты денега әсер ететiн күштер системасын қарапайым түрге келтіру;

2) абсолют қатты денеге әсер ететiн күштер системасының тепе-теңдiк шарттарын тағайындау. Осыдан барып статиканы қысқаша күштер туралы ғылым дейтiн ұғым туады.

Денелердiң қозғалыста, не тыныштықта болуы, бiрiншiден, ол денелерге қандай күштер әсер ететiнiне екiншiден, дененің орны қандай санақ системасына қатысты қарастырылатындығына байланысты. «Қозғалыс» және «тыныштық» дегеніміз салыстырмалы ұғымдар. Олар туралы сөз болғанда алдымен қандай да санақ системасын тағайындап алуымыз қажет. Сөйтiп, алдын ала санақ системасы және күш туралы ұғымдарға тоқтап өтуiмiз керек.

1.1. Санақ системасы. Координаталық осьтер системасы. Денелердi кеңiстiктегi орны қозғалмайды деп алынған қандай да бір денеге (немесе бiр-бiрiмен салыстырғанда қозғалмайтын бір топ денеге) қатысты анықталады. Осы денемен салыстыра отырып берiлген дененiц орын ауыстыруын есептеп шығарамыз. Мысалы, бiзге берілгенi В денесі болсын. Оның кеңiстiктегi орнын қозғалмайды деп алынған екiншi бiр А денесiмен салыстыра отырып анықтайық (1.1-сурет).

1.1-сурет

Өзiне қарағанда басқа денелердің орны, қозғалыс күйі салыстыру арқылы анықталатын, қозғалмайды деп алынған осы А денесi санақ системасы деп аталады. Сонымен, берiлген денелер қозғалысын әрбiр жолы белгілі бiр санақ системасымен салыстырып қарастыруымыз керек. Түрлi жағдайларда санақ системасын түрліше тәсiлмен сайлап алуға болады. Практикада қозғалысты сипаттау үшiн санақ системасын құрайтын денелерге қандай да бiр коорданаталар осьтерiнің системасын байланыстырады. Теориялық механикада көбiне х, у, z координаталарының тік бұрышты декарттық системасы қолданылады (1.1-сурет). Бұдан былай үнемi тек оң системаны пайдаланатын боламыз. Бұл система үшiн оң бұрғы ережесi қолданылады. оz осiнiң оң ұшынан қарағанда ох осінің оz осiне қарай ең аз бұрышқа бұрылысы сағат тiлiне айналысына керi бағытта көрiнуi керек, сол сияқты ох ұшынан қарағанда оу-тiң оz-ке карай, ал оу-тің ұшынан қарағанда оz-тiң ох-ке қарай айналыстары дәл осылай болуы қажет.

Сонымеа, осыдан әрi қарай В-ның немесе басқа денелердiң тепе-теңдiгi, не қозғалысы алдын ала алынған қандай да бiр охуz осьтер системасына қатысты зерттелiнедi. А денесi қозғалмайтын дене ретiнде алынғандықтан, онымен байланыстырылып алыған охуz осьтер системасын да қозғалмайтын немесе абсолюттiк система деп есептеймiз. Сөйтiп, статикада инерция заңы орындалатын координаталық осьтер системасы алынады.

1.2. Негiзгi анықтамалар. Геометриялық статикада тек қана абсолют қатты дене тепе-теңдiгi қарастырылады. Сол себептi осыдан былайғы жерде күштердi тек абсолют қатты денеге түсiрiлген күштер ден есептейтiн боламыз. Алдағы уақытта айтуға жеңiл болу үшiн абсолют қатты дене деп жатпай тек қатты дене дейміз.

Бұдан былай еркiн қатты дена ұғымын жкi қолданамыз. Еркiн дене деп басқа денелермен ешбiр байланысы жоқ, ешнәрсемен де бекiтiлмеген дененi айтамыз. Ол дена кеңiстiктiң кез келген орнында бола алады және кез келген бағытта орын ауыстыра алады.

Қатты деаеге бір ғана күш емес бiрнеше күш әсер етуi мүмкін.

Оларды деп белгiлейік.

Қандайда болмасын бiр қатты денеге әсер ететiн күштер жиынын

күштердiң системасы деп атайды.

Қандай да боамасын ( )—n күштiң системасын тыныштықта тұрған еркiн қатты денеге түсiргенде ол оған ешқандай қозғалыс бере алмайтын болса, онда бұл күштердiң системасы тепе-теңдiктегi система деп немесе нольге эквивалент деп аталады:

( )∞0

Басқаша айтқанда, системадағы күштер бірiнiң жасайтын әсерiн бiрi

жойып, натижесiнде күшттердiң бұл системасы тыныштықтағы еркiн

дененi ешқандай да қозғалысқа келтiре алмайтын болады. Егер еркін дене осыған дейiн қозғалыста болса, онда күштердiң мұндай системасы оған ешқандай да өзгерiс жасай алмайды. Қозғалыстың бағыты да, жылдамдықтары да өзгермей қала бередi.

Егер ( ) және ( ) күштердің екi системасының әрқайсысы бір еркiн қатты дененi тыныштықтағы күйiнен бiрдей бiр қозғалысқа келтiретін болса, онда бұларды бiр-бiрiне эквивалент системалар деп атаймыз. Бұл анықтаманы былай жазамыз:

( ) ∞ ( )

Осы анықтаманы былайша толық тусiндiруге болады. Егер ( ) системасы бiр қатты дене D-ға әсер еткенде оны қандай қозғалысқа түсiрсе, не оны тыныштықта ұстаса, оған эквивалент екiнші бiр күштер ( ) системасы да D денесiн дәл сондай қозғалысқа келтiредi немесе ол да D-ны тыныштықта ұстайды. Қысқаша айтқанда, эквивалент екi системаның бiр денеге жасайтын әсерлерi бірдей болады. Сол себептi мұндай екi күштер системасының бiрін екiншiсiмен алмастыруға болады.

Қатты денеге түсiрiлген ( ) күштерiнiң системасы бір күшке эквивалент болса, онда күшін бұл күшiтер системасының тең әсер етушiсі немесе тең әсерлi күшi деп атайды. Сонда осы анықтаманы былай жазуға болады:

( ) ∞

Егер қатты денеге әсер етушi барлық куштер жиыны тепе-теңдiкте тұрған күштердiң системасын құратын, яғни

( ) ∞ 0

болса, онда бұл дененiң өэi де тепе-теңдікте болады делiнедi.

Механикаға негiз болатын — Галилей-Ньютонның жалпы заңдары. Механиканың бұл жалпы заңдарына динамикада тоқталамыз. Бұл жерде статика негiзiне алынатын аксиомаларды баяндаймыз. Статика аксиомалары Галилей-Ныотонның жалпы заңдарынан туады. Олар механикаға толығынан негiз бола алмайды, бiрақ ол статикада қарастырылатын барлық мәселелердi қорытып шығаруга әбден жеткілікті.

1-аксиома (екi күштің тепе теңдік шарты туралы). Сан мәндерi тең бір түзудiң бойы мен қарама-қарсы бағытталған еркiн қатты денеге әсер етушi екi күш өзара теңеседi немесе нөлге баламалы (1.2-сурет).

1.2-сурет

= - , ( ) <=> 0.

Бұл аксиома теңескен күштер жүйесiн анықтайды.

2-аксиома (күштер жүйесiн түрлендiру туралы). Өзара теңескен күштер жүйесiн қосқаннан немесе алып тастағаннан берiлген күштер жүйесiнiң қатты денеге әсерi өзгермейдi (1.3-сурет).

1.3-сурет

Алғашқыда қатты денеге( ) күштер жүйесi түсірілген болсын. Ендi денеге түзуiнiң бойымен қарама-қарсы бағытталған шамалары тең күштерін түсiрейiк, яғни ( ) ˂=> 0.

Олай болса, ( ) ˂=> ( ).

3-аксиома (күштер параллелограмының заңы). Дененiң бiр нүктесiне түсiрiлген екi жане күштерiнiң тең әсер етушi күшi сол нүктеге түсiрiледi де, осы күштерден тұрғызылған параллелограмның диагоналiмен анықталады (1.4,а-сурет).

1.4-сурет

Осы және күштерiнің тең әсер етушi күшін параллелограмм тұрғызбай-ақ анықтауға болады. Ол үшін бiрiншi векторының ұшынан (1.4,б-сурет) векторын жүргiземiз. Осы сынық сызықтың бастапқы және соңғы нүктелерін қосатын векторы екi күштiң тең әсер етушi күшiн бейнелейдi. Екi күштiң тең әсер етушi күшін осындай әдiспен анықтайтын тәсiл, күштер үшбұрышының ережесi деп аталады.

Векторларды қосу ережесi бойынша тең әсерлi күш = + , яғни күштердiң векторлық немесе геометриялық қосындысына тең болады. Тең әсер етушi күштiң модулi:

R =

4-аксиома (әсер және керi әсер туралы заңы). Екi дененiң бір-бірiне әсер ету күштерi шамасы жағынан тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталады (1.5-сурет).

Бұл заң бойынша әрбiр әсерге оған тең және қарама-қарсы бағытталған керi әсер болады.

1.5-сурет

және күштерi әр түрлi денеге түсiрiлген, сондықтан осы күштер тепе-теңдікте болатын күштер жүйесiн құра алмайды, яғни

( ) ˂≠>0.

Осы аксиомадан әлемде куштiң бiр жақты ғана әсерi болмайтынын көремiз.

5-аксиома(қатаю принципi). Егер қатты емес дене теп-теңдiкте болса, онда ол қатты денеге айналғанда тепе-теңдiк шарты бұзылмайды.

Қатаю принципi қатты емес дене мен кез келген өзгермелi құрылмаларға (конструкцияларға) статиканың тепе-теңдiк шарттары қолдануға мүмкіндiк бередi. Осы шартты қатты емес денелердiң тепе-теңдiгiнің қажеттi шарттары деп алуға болады. Мысалы иiлмелi жiп тепе-теңдiкте болу үшiн оның екi ұшына әсер ететiн күштердiң шамалары бiрiне-бiрi тең және қарама-қарсы бағытталғаны жеткiлiксiз болады, себебi оған қосымша осы күштер жiптi созуы қажет.

Күш және масса ұғымы

Күш-денелердің өзара механикалық әсерінің сандық мәні болып табылады.Егер,денеге бірнеше күштер әсер етсе,онда ол күштер-күштердің беттесу принципінің шарттарын орындау қажет.Күштердің беттесу принципінің шарттары мыналдай;

1. Кез келген бір денеге әсер ететін күштер,сол дене тыныштықта тұр ма,немесе қозғалыста ма,оған байланысты емес,және сол әсер ететін күштердің түріне де,санына да байланыссыз.Осыны күштердің тәуелсіздік принципі деп атайды.Осы принцип бойынша,нүктеге түсірілͥген бірнеше күштердің туғызған үдеулерінің геометриялық қосындысына тең.Мысалы:

2. Кез келген нүктеге, әсер ететін бірнеше күштердің қорытқы күші, осы әсер етеуші күштердің геометриялық қосындысына тең болады:

Ғ

3. Егер бір материалдық нүктеге,қорытқы күші нольге тең бірнеше күштер әсер ететін болса,онда ол нүктенің механикалық күйі өзгермейді.

Денелердің өздеріне түсірілген механикалық әсерді қабылдағыш қабілетін,сол дегенің инерттік массасы деп атайды да m- деп атайды.Тәжірибелердің көрсетуіне қарағанда Ньютон механикасының шегінде дененің инерттік массасы мынадай үш шартты орындауы қажет.

1.Кез келген денеге әсер етуші күштің,осы күштің әсерінен дененің алған үдеуіне қатынасы тұрақты шама және ол инерттік массаға пропорционал болады.Яғни:

2.Кез келген күрделі механикалық жүйенің массасы,осы жүйені құрайтын массалардың қосындысына тең болады.

3.Релятивисттік емес механикада,дененің инерттік массасы мен,гравитациялық массасы тең болдаы,

16-сұрақ. Байланыстар. Байланыстар реакцияларын түсіндіріңіз

Кеңістікте кез келген бағытта қозғалыс жасай алатын денені еркін дене деп атайды.Егерде дене кейбір бағыттарда қозғалыс жасай алмайтын болса, онда ол еркін емес дене деп аталады.Дене қозғалысының еркінділігін шектейтін шарттарды механикада байланыстар деп атауға келісілген.Байланыстар туралы ұғым-механикадағы күрделі ұғымдардың бірі.Оны толық түрде динамикада қарастырамыз.Статикада қарастырылатын байланыстар көбінесе қозғалмайтын қатты дене, жіп, стержень, материялық нүкте түрінде кездеседі.

Мысалы, О нүктесіне жіппен ілінген В жүгі (1.8-сурет) еркін емес(еріксіз) дене болып табылады. Себебі В дене төмен қарай қозғала алмайды. Ол бағыттағы қозғалысты шектеп тұрған – АО жібі. ОА жібі В жүгіне жасалған байланыс болады.

Байланыс рөлін атқаратын дене берілген, қозғалысы зерттелетін денеге бір күшпен әсер етіп, оның қозғалысын шектейді. Бұл күшті байланыс реакциясы дейді. Байланыс реакциясы байланысты ойша алып тастаған кездегі мүмкін болатын дене қозғалысының бағытына қарама-қарсы бағытталады.

Біздің мысалда(1.8 сурет) байланыс ретіндегі ОА жібі берілген В денесінің А нүктесіне түсірілген Т_А(үстінде

сызықшасы бар) реакциясын береді.Ол жіп бойымен жоғары қарай бағытталады.Егер жіпті ойша алып тастаған болсақ В жүгі Р(үстінде сызықшасы бар) ауырлық күшінің әсерінен тік төмен қозғалар еді.Сондықтан Т_А(үстінде сызықшасы бар) реакция ол қозғалысқа қарама-қарсы жоғары бағытталады.

Байланыс реакциясы әруақытта берілген денеге түсіріледі.Ал бұл күш денені тепе-теңдік күйінен қозғалысқа келтіре алмайды.Денені өздігінен қозғалысқа келтіре алмайтын, тек оның кейбір бағыттағы мүмкін болатын қозғалыстарына кедергі жасайтын байланыс реакциясын пассив күш деп атайды.Тепе-теңдігі қарастырылып отырған денеге, байланыс реакцияларынан басқа да байланысқа тәуелсіз болатын күштер әсер етеді.Мұндай үштерді актив күштер немесе берілген күштер деп атаймыз.

Байланыс аксиомасы. Байланыстар әсерлерін реакцияларымен алмастыру арқылы кез келген еркін емес денедегі байланыстарды алып тастауға болады, ссондықтан да ол дене өзіндегі актив күштер мен байланыстар реакцияларының әсерлеріндегі еркін дене ретінде қарастырылады.

Байланыстың негізгі түрлері: Берілген денені оның қандай мақсатқа қолданылатынына қарай түрліше байланыстармен бекітеді.Статика мәселелерінде жиі кездесетін байланыстарды негізгі төрт типке бөлуге болады: а)Денелердің өзара түйісуі: 1)Жылтыр бет.Бірінші жуықтауда үйкелісін елемеуге болатын бетті жылтыр бет дейміз.

2)Жылтыр қисық.Идеал жылтыр қисық сызықтың реакциясы жанасу нүктесіндегі қисық нормалының бойымен бағытталады.(1.10 а. б сурет)

3)Кедір-бұдырлы бет.Егерде жанасушы денелердің беттері кедір-бұдырлы болса, онда байланыс реакциясы екі құраушыдан түрады:оның біреуі ортақ нормаль, екіншісі ортақ жанама бойымен бағытталады.

4)Кедір-бұдырлы қисық.Байланыс рөліндегі кедір-бұдырлы қисық реакциясы жанасу нүктесінде қисыққа жүргізілген нормаль және жанама бойыменен бағытталатын нормаль мен уйкеліс күшінен тұрады.(1.11 а, сурет)

5)Бұрыш. Егер дене бұрышқа тірелсе, онда ол дененің екі бағыттағы қозғалысына кедергі туады.Сол себепті бұрыштың реакциясы екі құраушыға жіктеледі.(1,12 а, б суреттер)

б)Денелерді шарнирлермен байланыстыру.

1)Жылжымалы шарнир(каток).Жылжымалы шарнир дененің тіреу жазықтығымен қозғалыс жасауына кедергі келтірмейді де оған перпендикуляр бағыттағы қозғалысын шектейді.Сол себепті оның реакциясы әр уақытта тіреу жазықтығына перпендикуляр бағытталады.(1,13 а, б, в суреттер).

2)Жылжымайтын цилиндрлік шарнир.Цилиндрлік шарнирдің өсі бойымен дене сырғып қозғала алады.Сондықтан да цилиндрлік шарнир реакциясы шарнир өсіне перпендикуляр жазықтықта жатады.(1,14 а, б суреттер).

3)Жылжымайтын сфералық шарнир.Сфералық шарнир дененің бір нүктесін қозғалмайтын етіп бекітеді.Дене осы бекітілген нүктесі арқылы өтетін осьтен айнала алады.Қозғалмайтын нүутедегі реакция кеңістікте кез келген бағытта болуы мүмкін.Бағыты да, шамасы да белгісіз, толық R(үстінде сызығы бар) реакциясының орнына әдетте оның координаталық осьтердегі проекциялары ізделінеді(1,15 а, б суреттер).

в)Иілгіш байланыстар және стерженьдік байланыстар

1) Жіп(қанат, шынжыр).Созылмайтын, иілгіш жіп түрінде берілген байланыс дененің бі+р ғана бағыттағы қозғалысын шектейді, яғни иілгіш байланыстар тек қана созылатын болады.Сондықтан да жіп реакциясы әр уақытта жіптің бойымен ол ілінген нүктеге қарай бағытталады.(1,16 а, б суреттер)

2) Стерженьдік байланыстар.Стерженьдің байланыстар салмақсыз, ұштары шарнирлермен бекітілген стерженьдер арқылы беріледі.Иілгіш байланыстарға қарағанда стерженьдер дененің екі бағыттағы қозғалысына(стержень бойымен) кедергі жасайды.Стерженьдер берілген күштер әсерлерінен созылуға не сығылуға қарсы жұмыс үстейді.Стерженьдік байланыстар реакциясы стерженьдер осьтерінің бойымен немесе стержень ұштарындағы шарнирлерді қосатын сызықтың бойымен бағытталады.(1,17 а, б суреттер)

г. Қозғалмастай етіп қадалған денелер.

Кейбір жағдайларда балканы бір ұшы қабырғаға(1,18 а сурет) немесе еденге(1,18 б сурет) қазықша қадай бекітіледі. Бұл бекітуді – қадалған ұш(заделка) деп атаймыз. Қозғалмайтын шарнирге қарағанда байланыстың мұндай түрі денеге тағы да бір кедергі жасайды.Ол берілген дененің байланысқа қарағандағы айналысын болдырмайды.Сондықтан да R(үстінде сызығы бар) реакциямен бірге реакциялық момент те М_R(үстінде сызығы бар) әсер етеді.Сөйтіп қадалған ұштың берілген А денеге жасайтын әсері екі элементтен R(үстінде сызығы бар) күш пен М_R(үстінде сызығы бар) моменттен тұрады.Мұндағы R(үстінде сызығы бар) реакциясының бағыты алдын ала белгісіз.Ол әрбір дербес жағдайда берліген күштерге және қарастырылатын дененің орналасуына байланысты анықталады.

1 7-сұрақ. Күштің нүктеге қатысты моменттерінің скалярлық және векторлық анықтамаларын беріңіз.

1. Күштің моментінің скалярлық анықтамасы. Күштің нүктеге қатысты моменті деп «+», не «-» таңбасымен алынған күш пен оның сол нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең болатын шаманы айтамыз. 0 нүктесінен күштің әсер ету сызығына дейінгі қашықтықты күштің осы 0 нүктесіне қатысты иіні деп атаймыз.

(6)

2. Күштің нүктеге қатысты моментінің векторлық анықтамасы. күштің 0 нүктесіне қатысты моменті деп радиусвектор мен күшінің векторлық көбейтіндісіне тең векторды айтады.

3. Күшінің өске қатысты моменті. Күштің өске қатысты моменті деп күштің берілген өске перпендикуляр жазықтықтағы проекциясының өс пен жазықтықтың қиылысу нүктесіне қатысты алынған моментінің «+» немесе «-» таңбасымен алынған сан шамасын айтамыз.

Абсолют қатты денеге әсер етуші шамалары тең, өзара параллель және қарама-қарсы бағытталған екі күштің жүйесін қос күш деп атаймыз.

Күштердің әсер ету сызықтарының ең жақын ара қашықтығын, қос күштің иіні деп атаймыз.

Қос күш әсері қос күш моментімен анықталады.

Қос күш моменті деп модулі, оның күші мен иінінің көбейтіндісіне (Ғ, h) тең, ал бағыты қос күш жазықтығына перпендикуляр болып келетін векторды айтамыз.

18-сұрақ. Күштің өске қатысты моменттері. Күштің нүктеге және өске қатысты моменттерін координаттық әдіспен есептеу.

Күштің өске қатысты моменті. Күнделікті тәжірибеден күштің денелерді өсті айналдыра қозғалатынын білеміз. Күштің денені өстен айналдырушы әсерін сипаттаушы шама-өске қатысты күш моменті. Енді соған екі түрлі анықтама береиік.

Бірінші анықтама: Күштің өске қатысты моменті деп берілген өске перпендикуляр жазықтықтағы проекциясының өс пен жазықтықтың қиылсу нүктесіне алынған моментінің «+» , немесе «-» таңбасымен алынған сан шамасын айтамыз.

Бізге А нүктесіне түсірілген күші және ОL өсі берілсін. Өстің кез келген бір С нүктесі арқылы оған пнрпендикуляр жазықтық (ж)-ны жүргізейік. күшінің (ж) _ж деп, ал күштің өске қатысты моментін ( )деп белгілейік.

Жоғалыдағы анықтаманы былай түсіндіруге болады:

_l( )= _с( )_ж (1)

(1) Теңдігі күштің OL өсіне қатысты моментін табу, Р^―_ж күштің проекциясының С нүктесіне қатысты моментін есептеуге келтірілетін көрсетеді.

_с( )_ж= = _ΔABC (2)

Мұндағы h-күш проекциясы Р_ж-ның С нүктесіне қатысты алынған иіні, яғни h=CD (ж-жазықтығында С нүктесінен А₁В₁ кесіндісіне жүргізілген перпендикуляр )(1 сурет)

(1)және (2) салыстырудан күштің өске қатысты моментінің неге тең болатынын анықтайтын формула шығады

_l( )= P_жh=±2S_ΔABC (3)

(3)формуладағы «+»немесе «-» таңбасын алатынымызды анықтауда оң бұранда ережесіне сүйенеміз.

Егер L өсінің оң ұшынан қарағанда _ж әсерінен болуға тиісті айналыс сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта көрінсе,онда моментті оң деп есептеп,(3)-формуланың оң жағын «+» таңбасымен аламыз. Ал егер ол сағат тілі қозғалысына бағыттас болып көрінсе, онда моментті теріс деп есептеп,(3)-формуланың оң жағын «-» таңбасымен аламыз: мысалы (1)суреттегі күш пен өстің ұшынан қарағанда денені ОІ өстен сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта айналдыруға тырысады.

Екінші анықтама:Кейде есептеп шығару кезінде өске қатысты күш моментін оның екінші бір анықтамасы арқылы есептеу қолайлы. Ол былай айтылады:

Күштің өске қатысты моменті деп өстің кез келген бір нүктесіне қатысты алынған күш моменті векторының осы өстегі проекциясын айтады: Бізге А нүктесіге түсірілген күші және ОІ өсі берілсін дейік.

Осы өстің кезкелген бір нүктесі С-ға қатысты күшінің моментін есептеп шығарайық (2-сурет)

_c( )= × (4)

( )векторы ΔАВС жазықтығына перпендикуляр және ОІ өсімен бұрыш жасай орналасқан. Бұл бұрышты θ мен белгілеймін.Енді өстік моменттің екінші анықтамасын

_l( )=np_{l c}( ) (5)

Түрінде жаза аламыз немесе (4)формуланы ескеріп (5) қатысты мынадай басқа түрге келтіругеболады

_l( )=np_l( × ) (6)

(6) өрнегі күшінің ОІ өсіне қатысты моментін анықтайды.

Өстік моменттің екі анықтамасы (3) және (6) бір біріне тең. Бұл дәлелдеу үшін ΔАВС мен ΔА₁В₁С₁ аудандарының арасындағы тәуелділікті қарастырайық.(2сурет).

S_ΔABC=S_ΔABC (7)

Өстік моменттің (7)-формуламен өрнектелетін бірінші анықтамасы:

2S_ΔABC=m_l( ) = P_ж× h (8)

Болатынын көрсетеді. Ал (2) бойынша

2S_ΔABC=m_c( ) (9)

(8)және (9)теңдіктерін ескеріп (7) былай жазамыз

P_ж h=m_с ) (10)

(9)теңдіктің оң жағы күш моменті векторының ОІ өсіне түсірілген проекциясына тең екенін ескерсек мынаны аламыз:

P_жh=np_l( _c( )) (11)

Бұл өстік моменттің екі анықтамасының бір біріне теңбе тең екендігін корсетеді:

Күштің нүктеге және өске қатысты моменттерін координаттық әдіспен есептеу. Р күшінің О нүктесіне қатысты моментін есептеу керек болсын. Бас нүктесі О нүктесінде болатын О_хуz жүйесін алайық (3сурет) күші түсірілген А нүктесінің радиус векторы (x,y,z) және күш (x,y,z) құраушылары берілсін.

Күштің О нүктесіне қатысты вектор моментін мына түрдегі анықтауыш арқылы жаза аламыз: ₀( )=

Мұндағы , , O_xyz координаттар өстерінің бірлік векторлары.

Анықтаушы оның бірінші жолының элементтері , , бойынша жіктейік

Сонда мынау шығады: ₀( )=(yZ-zY) +(zX-xZ) +(xY-yX)

Бұл теңдік ₀( ) момент векторының x,y,z өстеріндегі құраушыларға жіктелуін көрсетеді. Осы теңдіктің оң жағындағы құраушы векторлар шамаларының өстер Ox,Oy,Oz- ке қатысты алынған .Күштің координаттық өстерге қатысты моменттері:

_x( )= yZ-zY , _y( )=zX-xZ , _z )= xY-yX

Формулаларымен анықталады. Өстік моменттерді аналитикалық әдіспен есептеу осы формулалар арқылы жүргізіледі. Ол үшін күші түсірілетін А нүктесінің координаттары x,y,z және күш проекциялары X,Y,Z алдын ала белгілі болулары қажет. Нүктеге қатысты күш моменті векторының модулі мынаған тең болады:

= ²

Нүктеге қатысты момент векторының бағыттаушы косинустары:

= , = , = болады.

Мұндағы α,β,γ момент векторының Ox, Oy,Oz өстерімен жасайтын бұрыштары.

19-сұрақ. Бір нүктеге түсірілген күштер жүйесі және олардың тең әсер етушісін анықтау тәсілдері.

Берілген қатты дененің А нүктесінде Р₁ және Р₂ күштері әсер етеді дейік.күштер араындағы күш 𝛼-ға тең болсын. Күштер параллелограмы туралы аксиоманы қолданақ:

(Р₁,Р₂)~R , R =Р₁+Р₂

Демек, бір нүктеге түсірілген екі күштен тұратын жүйе бір R теңәсерлі күшке теңестіріледі. Бұл күштер Р₁,Р₂ күштерінің геометриялық күштеріне тең. Теңәсерлі R күшінің модулін анықтау мақсатымен теңдігінің екі жағында квадрат дәрежеге шығарып ,одан түбір табу керек:

R (2)

R күшінің бағытын табу үшін, бұл теңәсерлі күшпен Р₁,Р₂ күштер арасындағы 𝛼,𝛽 бұрыштарын анықтау керек.(1-сурет)

Синустар теоремасын қолданып үшбұрыштың АВС дан мынадай теңдікті аламыз:

⁽³⁾

Р₁,Р₂ және 𝛼 берілген жағдайда (2) формула арқылы тең әерлі күш R-дің модулін табамыз. Содан соң 3-ші формуладан анықталады. мен мәндері арқылы 𝛽𝛾 бұрыштарыда белгілі болады.

Теңәсерлі күш толық параллелограмды құрмай-ақ ,оның жартысына тең АВС үшбұрышын құру арқылыда табуға болады. Мысалы Р₁ күшіне паралель және оған тең вектор жүргіземіз. Осылайша қоылған сынық сызықтың бастапқы нүктесі мен ақырғы нүктесінін қоатын вектор, іздеп отырған , екі күштің тең әсерлі күші , R-ді белгілейді. 2-сурет. АС= R векторы күштер үшбұрышы АВС-ның тұйықтаушы қабырғасы деп аталады.

Бір нүктеге түсірілген үш күштің тең әсерлі күші.

Қатты дененің бір нүктесі А-ға , бір жазықтықта жатпайтын Р₁,Р₂,Р₃ үш күш түсірілген дейік. Жазықтақта жатпайтын бұл үш күштен тұратын жүйе тең әсерлі R күшке келтіріледі. Теңәсерлі күштің шамасы мен бағытын анықтау үшін біртіндеп күштер үшбұрыштың құру әдістерін қолданамыз. Р₁күшінің соңғы нүктесі В-дан бастап Р₂ векторын жүргізнміз. Р₂^, -векторының шамасы Р₂-ның шамасына тең және оған параллель бағыттылған. Оның соңғы нүктесі С^, нүктесінен бастап. Р₃^, векторын жүргіземіз. Бұл вектор А нүктесіндегі Р₃ векторына тең.Соңғы вектордың сонғы нүктесін Е^, деп белгілейміз. Енді А нүктесін Е^, нүктесімен қосу арқылы R^, векторын табамыз. АЕ^, =R^, векторы АВ С^, Е^, сынық сызығының тұйықтаушы қабырғасына тең. Сөйтіп, бұл айтылғандардан мынадай қорытынды келтіреміз. Бір жазықтықта жатпайтын ,бір нүктеге түсірілген Р₁,Р₂,Р₃ күштерінің векторлық қосындысы , осы күштер арқылы құрылған , параллелепипедтің диагоналімен бейнеледі.

(Р₁,Р₂,Р₃)~ R , R= Р₁+Р₂+Р₃

Күштердің берудің және қосудың аналитикалық әдісі.

Күшті және күштер жүйесінің тең әсерлі күшін табуда, ең жие қолданылатын әдіс. Мұнда ең алдымен өз қалауымызша қандайда тікбұрышты декараттық координаттар жүйесін Охуz-ті сайлап аламыз.

Күштің координаттар өстеріндегі проекциялары және оның бастапқы нүктесінің координаттары белгілі болсын:

Р_х,Р_у,Р_z, (немесе Х,У,Z) және x,y,z.

Берілген осы шамалары арқылы Р күштің сан шамасын (модулін) және оның бағытын анықтау керек. Күш бағыты оның бағыттаушы косинустары: cos𝛼 cos𝛽 cos𝛾 арқылы анықталады. Күштің тікбұрышты координаттық өстердегі проекциялары арқылы , оның модулін мына теңдікпен анықтаймыз:

Ал оның бағыттаушы косинустары мына түрде анықталады:

Сөйтіп куштің координаттар өстеріндегі проекциялары Х,У,Z берілсе, оның модулін осы формула арқылы анықтауға болады. Күштің түсу нүктесі А-ның орны оның берілген координаттары x,y,z арқылы табамыз.

20-сұрақ. Жинақталушы күштер жүйесі. Жинақталушы күштер жүйесінің тепе-теңдік шарты мен теңдеулерін жазыңыз.

Теорема. Қатты денеге түсірілген жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның тең әсерлі күшінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Күштердің тепе-теңдік шарттарын геометриялық немесе аналитикалық түрде келтіруге болады.

1. Тепе-теңдіктің геометриялық шарты. Күштер жүйесінің   бас векторы осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйықтаушы қабырғасы болғандықтан (1.12 ә) суретті қараңыз),   нөлге тең болу үшін көпбұрыштағы соңғы күштің ұшы бірінші күштің басымен дәл келуі керек, яғни көпбұрыш тұйық болу керек.

Демек, жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштерден тұрғызылған күштер көпбұрышының тұйық болуы қажет және жеткілікті.

2. Тепе-теңдіктің аналитикалық шарттары. Жүйенің бас векторының аналитикалық модулі (1.2.3) өрнегімен анықталады:

 .

 нөлге тең болу үшін бір мезгілде   болуы керек, яғни осы күштердің координата өстеріне проекцияларының қосындысы нөлге тең. Сондықтан, кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесінің қажет және жеткілікті тепе-теңдік шарттары былай жазылады:

 (1.)

(1.2.8) теңдеулері тепе-теңдік шарттарының аналитикалық түрін береді: кеңістіктегі жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін осы күштердің координата өстерінің үшеуінің әрқайсысына проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Қатты денеге әсер ететін жазықтықтағы жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін күштердің координата өстерінің екеуіне проекцияларының қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

 (2.)

Абсолют қатты денеге әсер ететін күш жылжымалы вектор болғандықтан, жинақталатын күштер жүйесі бір нүктеге түсірілген күштер жүйесіне пара-пар (1.11 ә) суреттегі О нүктесі).

Теорема.Жинақталатын күштер жүйесін осы күштердің геометриялық қосындысына тең және олардың әсер ету сызықтарының қиылысу нүктесіне түсірілген тең әсерлі күшпен алмастыруға болады.

Дәлелдеу. Әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын   жинақталатын күштер жүйесін (1.11 а) сурет) қарастырайық.

Статиканың 1 және 2 аксиомаларының салдарына сүйеніп барлық күштерді олардың әсер ету сызықтарының бойымен О нүктесіне көшіреміз (1.11 ә) сурет). Статиканың 3 аксиомасына сүйеніп   және   күштерін олардың   тең әсерлі күшімен алмастырамыз:   .

Алынған   күші мен   күшін   тең әсерлі күшімен алмастырамыз:

 .

Осылай барлық күштерді қоссақ, берілген күштер жүйесінің тең әсерлі күші болатын бір   күш аламыз (1.11 б) сурет). Бұл күштің векторы былай жазылады:

 . (1)

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін күштер көпбұрышын тұрғызу арқылы да анықтауға болады. Түсінікті болу үшін сурет жазықтығында жатқан төрт күш үшін көпбұрыш тұрғызайық (1.12 а) сурет).

 күшін масштабпен О нүктесіне   күшіне параллель етіп көшіріп,   деп белгілейміз. Осы күштің ұшынан   күшіне параллель етіп   деп белгіленген күшті көшіреміз. Дәл осылай етіп   және   күштерін көшіреміз.

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлісі болатын   күші осы күштердің геометриялық қосындысына тең күш ретінде қосылғыш күштердің біріншісінің басын соңғы күштің ұшымен қосатын вектор болады (1.12 ә) сурет).

 

Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күшін аналитикалық түрде анықтауға болады. Ол үшін геометрияның келесі теоремасына сүйенеміз: күштердің векторлық қосындысының қалаған өске проекциясы қосылғыш күштердің осы өске проекцияларының алгебралық қосындысына тең.

 

Осыған сәйкес, жинақталатын күштер жүйесін құратын күштердің декарттық координата өстеріне проекцияларын біле отырып тең әсерлі күштің осы өстерге проекцияларын анықтауға болады:

 . (2)

Сонда тең әсерлі күштің модулі мынандай болады:

 . (3)

Оның бағыты бағыттаушы косинустармен анықталады:

 . (4)

Бір жазықтықта орналасқан күштер үшін:

 (5)

 (6)

 (7)

21-сұрақ. Өзара паралель емес үш күштер туралы теорема және оның мағынасын сипаттаңыз.

Егер үш өзара параллель емес күштер тең күштер жүйесiн құрастырса, онда олар бiр жазықтықта жатады және бiр нүктеде қиылысады. Бұл теореманы үш күш туралы теорема деп атаймыз.

Теорема оңай дәлелденедi. Күштер паралелль болмағандықтан олардың ең болмаса екеуi бiр нүктеде қиылысады, ендi екi күштi алдымен осы нүктеге сырғытып, қосайық. Сонда бұл күш алғашқы күштерден қалған күшпен тепе-теңдiкте болуы тиiстi. Басқаша айтқанда олар бiр түзу бойымен қарама-қарсы бағытталады. Сондықтан үш күште бiр нүктеде қиылысады және бiр жазықтықта жатады. Керi оқылған теорема орындалмайды, өйткенi кез келген үш күш тепе-теңдiкте болмауы да ықтимал. Теорема екi күштiң бағыты берiлсе үшiншi күштiң бағытын табуға мүмкiншiлiк бередi.

 

22-сұрақ. Қос күштер туралы түсінік. Қос күштер моменті. Қос күштер жүйесінің тепе теңдік шарттарын сипаттаңыз.

Қос күш. Абсолют қатты денеге әсер етуші шамалары тең,өзара параллель және қарама –қарсы бағытталған екі күштің жүйесін қос күш деп атаймыз. Күштерді деп , ал олардың түсу нүктелерін А және В деп белгілейік (1-сурет ). және куштері орналасқан (ж) жазықтығы қос күштің әсер ету жазықтығы ретінде қабылданады.Мұндағы күштердің әсер ету сызықтарының арақашықтығы ,қос күштің иіні ретінде алынады да h әрпімен белгіленеді.Күштердің мәндері тең Р= Р’ ,бағыттары қарама –қарсы болғанымен , әртүрлі екі нүктеге әсер ететіндіктен қос күш нөлге эквивалент жүйе болмайды. *1-сурет

Қос күш ( ,бір тең әсерлі күшке келтірілмейді.Оның әсерінен еркін қатты дене тыныштыұ күйінен шығып , айналмалы қозғалыс жасайды.Қос күш бұдан кейін өзгермейтін жүйе.Ол статикада күшпен қатар қарастырылатын жек элемент,негізгі ұғым ретінде алынады.Өзі әсер ететін қатты денені айналдыруға тырысады.Оның айналдырушы әсерін сипаттайтын үш түрлі анықтаушы жағдайлар бар. Біріншіден, ол күшпен иін көбейтіндісіне тең Рh шаманың мөлшері, екіншіден қос күштің әсер ету жазықтығының кеңістікте орналасу жағдайлары, үшіншіден , осы жазықтықтағы қос күштің айналыс бағыты. Міне осы үш сипаттаушы жағдайларды түгел қамтитындай қортынды ұғым көрсетуіміз керек.Ол қос күш моменті туралы ұғым.Қос күш моменті.Қос күш әсері қос күш моментімен анықталады.Моменті, қос күш айналдырушы әсерінің жоғарыда айтылған уш түрлі сипаттамасын түгел қамтитындай етіп анықтаумыз керек.Сондықтан да қос күш моментіне векторлық анықтама беруге тиістіміз.Қос күш моменті деп модулі оның күшімен иінінің көбейтіндісіне (Ph) тең , векторының бағытын анықтауда оң бұранда ережесі қолданылады(1-сурет).Қос күш моментінің векторын ( деп белгілесек, онда оның модулін қос күш күші мен иінінің көбейтіндісіне теңестіреміз:

=Ph=P’h (1)

Бұл теңдіктен ол вектордың модулінің, күшінен құралған , параллелограмм ауданына тең болатындығын көреміз.(1-сурет)

= =Ph (2)

( векторы – еркін вектор , оны қос күш әсер ететін дененің кез келген бір нүктесіне түсіруге болады.Бұл вектордың осы қасиетін алдағы жерде дәлелдеп көрсетеміз.Әдетте келісім бойынша ол вектор қос күштерінің бастапқы нүктелерін қосатын АВ кесіндісінің ортасына түсіріледі.Енді жоғарыда берілген анықтамаға сәйкес қос күш моментінің векторлық өрнегін табуымыз керек.Сол мақсатпен мынадай векторлық көбейтіді аламыз.

х немесе х

Бұл векторлық көбейтіндінің модулі мен бағытын анықтайық.Оның модулін, (1-сурет) көрсетілген қос күштің иіні болып табылатын, h арқылы өрнектейік.Сонда

ļ х ļ = AB * P *sin ( = Ph (3)

Бұл (3) теңдігін қос күш моменті векторының модулін анықтайтын (1) немесе (2)теңдігімен салыстырып қарасақ, онда екі вектордың модульдерінің тең екендігін көреміз

ļ х ļ =

Осындан кейін х векторларының бағытына көңіл бөлеміз.Бұл вектор АВСD паралеллограмының жазықтығына тұрғызылған перпендикуляр мен оң бұранда ережесіне сәйкес бағытталады .Демек, х _{(немесе х )} векторы мен қос үш моментінің векторы ₍ бірдей бағытталады_. Осы салыстырудан х векторының ( векторына тең болатын табамыз.Олай болса қос күш моментінің ( векторын векторларының векторлық көбейтіндісімен өрнектей аламыз.

( = х = х (4)

Қос күш моментінің қасиеттері. a) Қос күш моменті құраушы күштердің кез келген бір центрге қатысты алынған моменттерінің геометриялық қосындысына тең*2

Қос күшті құраушы және күштерінің кез келген О центріне қатысты моментінің (2 сурет)қосындысын есептейік:

_{. +} ) = _Aх + _B х = ( _A - _B )х = х (5)

Мұнда біз = - және _A - _B = қатынастарын ескердік.(5) теңдігін қос күш моментінің анықтамасын сипаттайтын , (4) теңдігімен салыстырайык . Бұлардың оң жақтары тең.Осыдан

( = + ) (6)

(6) теңдігі қос күш моментінің құраушы күштердің кез келген центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең екенін дәлелдейді.б)Қос күштің моменті оның бір күшінің әсер ету сызығының кез келген нүктесіне қатысты алынған моментіне тең.Осыны дәлелдеу үшін қос күштің бір күші -ның екінші күшінің әсер ету сызығының бойында жатқан В нүктесіне қатысты моменті _B ( ) векторын табуымыз керек.Жоғарыдағы (6)формуланы В нүктесіне қатысты алайық

( = _B ( ) + _B ) (7)

B нүктесі күшінің әсер ету сызығында жатқандықтан _B ) =0 болады да (7) теңдіктімына түрде келтіреміз.

( = _B ( ) (8) сол сияқты

( = _A( )+ _A ) = _A ) (9)

Сонымен (8) (9) теңдіктерін өзара салыстырудан алатынымыз ( _A ) = _B ( ) (10)

(10)қатынасы қос күш моменті оның бір күшінің екінші күш бойында жатқан кез келген бір нүктеге қатысты алынған моментіне тең екенін көрсетеді.Қос күштер эквивалеттілігі.

а) Қос күшті қатаң фигура тәрізді өз жазықтығында бір орыннан екінші орынға параллель тасымалдауғажәне кез келген бұрышқа бұруға болады.Бұдан қос күштің қатты денеге әсері өзгермейді

б)Қос күштің жазықтығын параллель көшіруге болады.Бұдан қос күштің қатты денеге әсері өзгермейді.

В)Қос күштің иінін және күшің , олардың көбейтіндісі өзгермейтіндей етіп,өзгерген түрде алуға болады.Бұдан қос күштің қатты денеге жасайтын мех-қ әсері өзгермейді.

Вариньон теоремасы.Күштердің жазық жүйесі ≠0, * ₀ = 0 шарттары орындалған жағдайда теңәсерлі бір күшке келтіріледі.Бұл жағдайдағы күштердің жазық жүйесіне Вариньон теоремасын қолдануға болады.

Теорема: Күштердің жазық жүйесінің теңәсерлі күшінің,осы күштер жатқан жазықтыққа алынған,кез келген бір центрге қатысты моменті жүйедегі барлық күштердің сол центрге қатысты моменттрінің қосындысына тең болады.

Қатты денеге әсер етіп тұрған ( ₁, ₂, ₃,..., _n) күштердің жазық жүйесі О^*келтіру центрінде бір теңәсерлі ^* күшке келтірілген болсын.Бұл күш,жүйенің бас векторларынга тең ^*= = _l және оның әсер ету сызығы О^* нүктесін басып өтеді(3-сурет).

Теңәсерлі күш *-ның (ж) жаз-ғының О нүктесіне қатысты моментін ₀( *) деп белгілейік те,күштердің жазық жүйесінің осы О нүктесне қатысты бас моменттің М₀= _i) десек,онда Вариньон теор-сын мына теңдікпен өрнектеуге болады: ₀( = _i).*

23-сұрақ. Динамиканың мәселелері, негізгі түсініктері мен ұғымдары. Нүкте қозғалысының дифференциал теңдеулерiн сипаттаңыз (барлық түрлері).

Динамиканың негізгі заңдары мен мәселелері.

Динамика негізінде, аксиомалар ретінде қабылданатын, бірнеше қағидалар жатады. Бұл қағидалар табиғаттағы құбылыстарға жасалған көптеген жылғы бақылаулар мен тәжірибелерді дәне қоғамдық практика нәтижелерін жалпылап қорытындылаудан алынған. Механика аксиомаларын ең толық және ақырғы түрінде айтып берген И.Ньютон еді. Сондықтан да оларды Ньютон заңдары д.а.

Ньютонның бірінші заңы(инерция заңы). Егер материялық нүктеге ешбір күш әсер етпесе, онда ол өзінің тыныштық күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын сақтайды.

Ньютонның бірінші заңы материялық денелердің негізгі бір қасиетін, яғни өзін өзі қозғалысқа келтіре алмайтын қасиетін сипаттайды. Ал екінші жағынан бұл зат денелер өзіне түсірілген сыртқы күштердің әсерінен бірден қозғалысқа келе қоймай өзінің тыныштық күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын бірте өзгерте қоймай, ондай күйін сақтап қалуға тырысатын да қасиеті бар екенін көрсетеді. Оны денелердің инерциясы немесе материяның инерттігі дейді. Инерттілік барлық денелерге тән қасиет. Дене жылдамдығын берілген шамаға дейін өзгерту үшін оған түсірілген күш әсері белгілі бір уақытқа созылуы керек. Ол уақыт аралығы неғұрлым көп болса, дене соғұрлым инерттірек келеді. Өзара әсерлесетін екі дененің қайсысы жылдамдығын баяуырақ өзгертсе, сонысы инерттілеу болады. Ньютонның –заңын инерция заңы деп те атайды.

Инерция заңында айтылатын материялық нүктенің түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын инерциялық қозғалыс дейміз.

Инерция заңы және Ньютонның басқа да заңдары қандай да бір қозғалмайтын координаттар өстеріне қатысты айтылады. Ньютон заңдары орындалатын координаттар өстерінің жүйесін негізгі немесе абсолюттік жүйе дейді.

Ньютон заңдары, әсіресе инерция заңы орынды болатын координаттар өстерінің жүйелерін иерциялық жүйелер д.а. мұндай жүйелерге қатысты қаралатын денелердің, материялық нүктелердің қозғалыстары абсолют қозғалыстар д.а.

Ньютонның 2 заңы( негізгі заң) Материялық нүктеге әсер етуші күш осы нүкте үдеуімен бағытталады және шамасы үдеуге пропорционал болады.

Материялық нүктеге түсірілген күшті F деп, нүкте массасын m деп, ал үдеуін а деп белгілейік:

F= ma

Бұл теңдіктен нүктеге әсер етуші күш нүктенің массасы мен оның үдеуінің көбейтіндісіне тең екенін көреміз.

(1)теңдігі динамиканың негізгі заңы д.а. негізгі заң нүктені қозғалысқа келтіретін күшпен нүкте массасы және оның үдеуінің арасындағы тәуелділікті береді.

Халықаралық бірліктер жүйесінде негізгі бірліктер былай алынған: ұзындық бірлігі – 1м, уақыт бірлігі – 1с, масса бірлігі – ньютон(Н) д.а. 1Н-ға тең күш 1 кг массаға, 1см/с² тең үдеу береді. CGS жүйесінде бірлік күш үшін 1г массаға 1см/с² үдеу беретін күш алынады. Күштің бұл бірлігін дина д.а.

Бірліктердің техникалық жүйесінде негізгі бірліктер қатарына күш бірлігі алынады. Ол да килограмм (кГ) д.а. мұнда масса бірлігі туынды бірлік болады: [m]=[F] * [a]¯¹

1 кг күшпен 1Н арасындағы тәуелділікті (3) формула арқылы табамыз:

1килограмм күш = g * 1 килограмм масса немесе 1кГ = 9,81 .осыдан 1кГ=9,81 Н

Демек бір килограмм – күш 9,81 Ньютонға тең.

Ньютонның 3 заңы ( әсер және қарсы әсер заңы) материялық екі нүкте бір біріне оларды қосатын түзу бойымен қарама қарсы бағытталған, модульдері тең күштермен әсер етеді.

Мысалы, үстел үстіндегі дене өзінің салмағындай күшпен үстелге қысым түсірсе, онда үстел денеге сондай күшпен қарсы әсер етеді.

Сол сияқты екі планетаның өзара тартылу күштерін алсақ олардың да бірі біріне тең болып, бір түзудің бойымен қарама қарсы бағытталғандығын көреміз.

Мысалға Ай мен Жердің өзара тартылысын алайық. Ай А-ны өзіне тартатын Жердің FA күші мен Жер В-ны тартатын Айдың ҒВ күші мынадай шартты қанағаттандырады:

ҒА =-Ғв, IFAI = -IFВІ

Егер бір күшті әсер деп, ал екіншісін қарсы әсер деп атасақ, онда 3-ші заңды басқаша былай да айтуға болады:

Әрбір әсерге сәйкес тең және қарама қарсы бағытталған қарсы әсер болады.

Ньютонның 4 заңы(күш әсерінің тәуелсіздігі туралы заң). Егер материялық нүктеге бір мезгілде бірнеше күш әсер етсе, онда олардың әрқайсысының нүктеге беретін үдеуі сол күш шамасына пропорционал болып, күштердің өзгелеріне және нүктенің кинематикалық күйіне тәуелсіз болады.

Егер материялық нүктеге бірден бір мезгілде Ғ₁,Ғ₂ .... Ғn күштері әсер ететін болса, онда бұл күштердің әрқайсысы массасы m-ге тең нүктеге өзінің шамасына пропорционал болатын үдеу береді:

а₁= , a₂= ,…. an=

Демек, бұл а₁ үдеулерінің әрқайсысы тек өзіне сәйкес Ғ₁ күші арқылы анықталады да, нүктедегі өзге күштерге тәуелсіз болып келеді.

Осылайша материялық нүктебір мезгілде үдеулері әр түрлі n қозғалысқа келеді. Толық үдеу жеке күштер әсерлерінен болатын үдеулердің векторлық қосындысына тең болады:

a= a₁ + a₂ + …. an

Ал мұндағы әрбір үдеудің орнына олардың күш арқылы анықталатын, жоғарыда көрсетілген өрнектерін қояйық та, сонда:

a= + + = (F₁+F₂+…+Fn)

Бір нүктеге түсірілген күштердің тең әсер етуші күші болады, ол күштердің геометриялық қосындысына тең:

(F₁+F₂+…+Fn)~F, F₁+F₂+…+Fn=F

Демек, нүктенің толық үдеуі a= *F

Осыдан: Ғ=m*a

Егер материялық нүктеге түсірілген күштердің саны екеу ғана десек, онда олардың тең әсер етуші күші берілген күштерден құрылған параллелограмның диагоналіне тең болды: Ғ=F₁+F₂

Ньютон заңның айтылуын осы күштер параллелограмының заңынан салдар ретінде қорытынды шығарған. Демек, заң тәуелсіз заң болып табылмайды, ол күштер параллелограмы туралы заңның салдары ретінде қарастыруға болады.

24-сұрақ. Материалық нүкте динамикасының жалпы теоремаларын сипаттаңыз.

Материялық нүкте динамткасының негізгі теоремалары

Қозғалыс мөлшерiнiң өзгеруi туралы теорема

Нүкте динамикасының негiзгi үш теоремасы бар. Олардың бәрi де осындағы негiзгi заңнан қорытылып шығарылады. Бiрiншi теорема қозғалыс мөлшерiнiң өзгеруi туралы. Осы теоремаға тоқталамыз. Материялық нүктенiң m массасы мен жылдамдығының көбейтiндiсiне тең = m векторын оның қозғалыс мөлшерi деймiз. векторы нүктеге түсiрiлген күшi әсерiнен уақыт өткен сайын өзгерiп отырады (3.3-сурет).

3.3-сурет

Осы вектордың бiр уақыт iшiндегi өзгерiсiнiң әсер етушi күш пен қандай байланыста болағындығын табайық. Ол үшiн негiзгi теңдеудi алайық

m = . (3.7)

Бұл теңдеудiң екi жағын да dt-ға көбейтемiз:

d (m ) = dt (3.8)

(3.8) теңдеудiң оң жағындағы dt көбейтiндiсiн күштiң элементар импульсi деп атайды. Олай болса (3.8) теорема түрінде былай айтылады:

Материялық нүкте қозғалыс мөлшерінің дифференциалы күштің элементар импульсiне тең.

d = dt (3.8`)

Уақыт t= болғанда нүкте жылдамдығы = болады дейiк. (3.8) теңдiктiң сол жағынан -ден -ға дейiнгi шектерде, ал оның оң жағынан -ден t-ға дейiнгi шектердегi интеграл алайық

= .

Осыдан

m -m = (3.9)

Элементар импульстерден t- уақыт аралығында алынған интегралмен анықталатын векторын күштiц сол уак,ыт аралыгындагы импульсi ден атайды.

= (3.10)

Күш импулсiнiң координаталар осьтерiндегi проекциялары мынадай теңдiктермен анықталынады:

= , = , = . (3.11)

(3.9) теңдiгiнiң оң жағында тұрған интеграл күштiң t- уақыт аралығындағы импулсiн анықтайды, сондықтан да оны мына түрде қайталап жазайық:

m -m = (3.12)

(3.9) және (3.12) теңдiктерi материялық нүкте қозғалыс мөлшерiнiң өзгеруi туралы теореманың айырым түрiндегi өрнегiн бередi:

Қандайда бiр уақыт аралығында нүкте қозғалыс мөлшерiнiң өзгеруi сол уақыт аралығындағы күш импулсiне тең.

Сөйтiп, бұл теорема бiр векторлық теңдеумен (3.9) не (3.12) түрiнде берiледi екен. Ал бiр векторлық теңдеу үш скалярлық теңдеулерге эквивалент. Векторлық теңдеу (3.9)-тi координаталық осьтерге проекцияласақ осындай үш скалярлық теңдеудi аламыз:

= ,

= , (3.13)

=

Күш импулсiнiң координаталық осьтердегi проекцияларының (3.11) теңдеулерiнде көрсетiлген анықтамаларын пайдалансақ, онда соңгы скалярлық теңдеулердi мына түрде жазамыз:

=

= (3.14)

=

Теореманың координаталық түрдегi өрнектерiн көрсететін (3.13) немесе (3.14) теңдеулерiн былай айтамыз:

Материялық нүкте қозғалыс мөлшерiнiң берілген осьтегi проекциясының қандайда бiр уақыт аралығындағы өзгеруi сол уақыт аралығындағы күш импульсiнiң осы осьтегi проекциясына тең.

Кинетикалық моменттiң өзгеруi туралы теорема

Материялық нүкте қозғалыс мөлшерiнiң қандай да бiр центрге қатысты алынған моментiн оның кинетикалық моментi дейдi.

О центрiне қатысты алынған кинетикалық моменттi әрпiмен белгiлейiк. Сонда = X m немесе = (m ). Кинетикалық момент күш әсерiнен уақыт өткен сайын өзгерiп тұрады (3.4-сурет).

3.4-сурет

Оның өзгерiсiнiң күшке тәуелдiлiгiн табайық. Ол үшiн негiзгi теңдеудiң екi жағын да нүктенiң радиус-векторына вектораша көбейтейiк:

X m = X . (3.15)

Бұл теңдеудiң сол жағындағы векторлық көбейтiндiнi түрлендiрейiк:

X m = ( X m ) - X m = ( X m ) (3.16)

Бұл арада азайғыш векторлық көбейтiндiнiң нольге айналатынын ескердiк. Ол екi коллинеарлық вектордың векторлық көбейтiндiсi болу себептi нольге айналады. (3.15) теңдiктiң сол жағындағы векторлық кобейтiндiнi (3.16) түрiнде аламыз:

= X . (3.17)

Осы теңдiк бiзге керектi теореманы өрнектейдi. Бұл материялық нүкте қозғалыс мөлшерi моментiнiң өзгеруi туралы немесе басқаша айтқанда, нүктенiң кинетикалық моментiнiң өзгеруi туралы теорема. Жоғарыда берiлген материялық нүктенiң кинетикалық моментi деген анықтаманы қолдану арқылы (3.17) теңдiгiн басқа түрде де жазуға болады:

= (3.18)

Теореманы () түрінде жазу көрнектілік туғызып, оның мазмұнын айқындай түседі.

(3.17) не (3.18) теңдігімен өрнектелетін теорема былай айтылады:

Қандай да бiр центрге қатысты нүкте кинетикалық моментiнiң уақыт бойынша туындысы сол центрге қатысты күш моментiне тең.

Егер нүктенiң О центрiне қатысты алынған секторлық жылдамдығының өрнегiн еске алсақ мынаны аламыз:

X = 2

Онда (13.19) теңдiгiн осы секторлық жылдамдық арқылы да жазуымызға болады:

2m = X . (3.19)

Бұл теңдеуден материялық нүктенiң массасы мен О центрiне қатысты секторлық үдеуiнiң екi еселенген көбейтiндiсi сол центрге қатысты күш моментiне тең болатынын көремiз.

(3.17) векторлық теңдеудi координаталық үш оське проекциялап жазайық. Мұндағы векторлар проекцияларын көрсетейiк: (x, y, z), ( ), ( , , ). Олай болса

m (y )= ,

m (z )= , (3.20)

m (x )= ,

Бұл скалярлық теңдеулердi моменттер белгiлеулерiн қысқа түрде жазайық. Олар (3.18) векторлық тендеунiң координаталық осьтердегi проекцияларына тең:

= ( ), = ( ), = ( ), (3.21)

(3.20) немесе (3.21) теңдiктерi нүктенiң координаталар осьтерiне қатысты алынған кинетикалық моменттерiнiң өзгеруiн сипаттайды: координаталар осьтеріне қатысты алынған нүкте кинетикалық моменттерiнiң уақыт бойынша туындылары сол осьтерге қатысты алынған күш моменттеріне тең.

Ендi бұл теореманың қай жағдайларда бiрiншi интегралдар беретiнiн тағайындайық. Ол үшiн (3.17) теңдiгiнiң оң жағындағы бөлiгi векторлық көбейтiндi, яғни О центрiне қатысты күш моментi нольге тең болуы қажет. Ал күш моментi күштiң өзi Р=0 болғанда немесе күш үнемi радиус-векторға параллель болғанда нольге айналады. Бiрiншi жағдай өзiнен—өзi түсiнiктi, сондықтан да күш моментiнiң нольге айналатын екiншi жағдайына тоқтайық. Нүктеге әсер ететiн күш радиус-векторға коллинеар вектор болсын:

= . (3.22)

Мұндағы -күштiң радиус бағытындағы проекциясы оң да, терiс те болуы мүмкiн. (3.22) түрiндегi күштер центрлiк күштер делiнедi. Мұндай күштердiц әсер ету сызықтары үнемi бiр центрдi басып өтедi (13.4-сурет). Ол центр күштер центрi деп аталады. (3.22) күшiнiң О центрiне қатысты моментi нольге тең болады:

( )= X = X = 0

Сондықтан да (13.20) теорема теңдiгiнен алатынымыз:

=0

Осыдан нүкте кинетикалық моментiнiң тұрақты екенiн анықтаймьтз:

=const= . (3.23)

немесе кинетикальық момент өрнегiн пайдаланып және (3.23) теңдiгiнiң екi жағын да нүкте массасына бөлiп бұл теңдiктi мына түрге келтiремiз:

X = (3.23`)

Сөйтiп, центрлiк күш әсерiнен қозғалатын материялық нүкте қозғалысы теңдеулерiнiң бiр векторлық бiрiншi интегралын екiншi теоремадан (3.23) немесе (3.23`) түрiнде оңай тауып алуға болады екен. Бұл интегралды материялық нүктенiң кинетикалық моментiнiң сақталу заңы деп атайды. Векторлық бiр бiрiншi интеграл (3.23`) үш скалярлық бiрiншi интегралдарға эквивалент болады.

(y )= ,

(z )= ,

(x )= . (3.24)

Мұндағы , , — тұрақты вектордың координаталық осьтердегi проекциялары.

Егер күш центрлiк күш, сол себептен ( )=0 болса, онда (3.24) түрiндегi үш скалярлық бiрiншi интегралдар бар болады. Осыған ендi керiсiнше (3.23`) түрiндегi бiр векторлық бiрiншi интеграл немесе (3.24) түрiндегi скалярлық үш бiрiншi интегралдар бар деп есептеп күш моментiнiң неге тең болатынын анықтайық. Ол үшiн векторлық бiрiншi интеграл теңдеуiн, яғни (3.23)-тi (3.18) теорема теңдiгiне апарып қояйық:

( )= = =0

Демек, қандай да бiр центр О-ға қатысты алынған кинетикалық момент тұрақты вектор екенiн көрсететiн бiрiншi интеграл бар болса, онда сол центрге катысты күш моментi нольге тең болады екен. Сондықтан да нольге тең емес күш центрлiк күш болады, яғни оның әсер ету сызығы үнемi О центрiнен өтiп отырады.

25-сұрақ. Полярлық координаталардағы нүкте үдеуін қорытыңыз.

Берілген М нүктесі үнемі бір жазықтықта қозғалатын болсын. Нүкте қозғалысы болатын жазықтықты Оху координаттық жазықтық ретінде қабылдайық. Нүктенің жазықтықтағы орнын анықтауға х,у түзу сызықты координаттар қолданылады. Бірақ нүктенің жазық қозғалысын полярлық координаттар арқылы беру көп жағдайларда тиімді болып келеді. Оларды сайлап алу үшін, жазықтықтың бір нүктесі О ны полюс ретінде қабылдап, осы нүктеден бастап жүргізілген түзуді полярлық өс деп атаймыз. Сонда нүктенің полярлық координаттары ретінде оның О полюстен қашықтығына тең, ρ=OM шамасы мен , полярлық өс Ох пен ОМ түзуінің арасындағы бұрыш φ алынады. ρ Нүктенің полярлық радиусы деп, ал φ полярлық бұрыш деп аталады. Жалпы жағдайда қолданылған белгілеулерді пайдалансақ, онда нүктенің полярлық координаттарын қисық сызықты координаттар деп,

о ларды q₁,q₂ мен белгілеген болар едік:

(1)

Нүктенің қозғалысы кезінде полярлық координаттар уақыт t ға тәуелді өзгереді. =ρ(t), φ=φ(t) (2). Біріншіден, (2) тендеулері нүкте қозғалысының полярлық координаттарымен берілген тендеулері болса, екіншіден бұл тендеулер нукте траекториясының параметрлік тендеулері деп аталады. Декарттық координаталарды полярлық координаттармен байланыстырсақ, мынадай тендеу аламыз: x=ρcosφ, y=ρsinφ (4). Ал бұған кері: ρ= (5) тендеулері онай табылады.

Нүкте үдеуін полярлық координаттармен анықтау.

Нүкте үдеуін анықтауға арналған

Ф ормулаларын пайдалана отырып, н.кте удеуін полярлық координаттармен есептеп табамыз:

М ұндағы, Ламе коэффициенттері тендіктермен анықталады, ал мәнін

өрнектейтін формуланы теңдігі береді:

(2)

(2) Тендіктің екі жағынан да туындылар алу арқылы тендіктерде көрсетілген дербес туындыларды таба аламыз:

Табылған және (3) мәндерін (1) орындарына қойсақ, мынадай тендіктер аламыз:

(4)

(5)

Үдеудің радиальдық өс бағытындағы проекциясы (4) ны нүктенің радиальдық үдеуі деп, ал трансверсальдық өс бағытындағы проекциясы (5) ді нүктенің трансверсальдық үдеуі деп атаймыз.

Полярлық өстер жүйесі ортогональдық жүйе болғандықтан, үдеу модулін мына формуламен есептей аламыз:

27-сұрақ. Цилиндрлік кординаталардағы нүкте үдеуін қорытыңыз.

28-сұрақ. Нүктенің қозғалу заңы теңдеулерімен берілген. Екі секундтан кейін нүкте координаталар жүйесінің бас нүктесінен қандай қашықтықта болады?

; ;

t = 2c болған кезде

;

31-сұрақ. Автомобильдің жылдамдығы 12 с ішінде нольден 60 км/сағ-қа дейін бірқалыпты өседі. Автомобильдің үдеуін анықтаңыз.

Үдеуді анықтау үшін осы формуланы қолданамыз.

V=60км/сағ=16,67м/с

Жауабы: а=

32- cұрақ. Сфералық координаталардағы нүкте жылдамдығын қорытыңыз.

М нүктесінің кеңістіктегі орны түзу сызықты декарттық координанттар жүйесінде х,у,z координаттармен, ал сфералық координаттар жүйесінде

q₃=Ө шамаларымен анықталады дейік. Мұндағы r - координаттардың бас нүктесі О дан М нуктесіне дейінгі қашықтықты көрсетеді. Ал, Ө бұрышы ОМ₁ мен нүктенің радиус векторы r- дің оң бағытының арасындағы бұрыш, φ- Ох өсімен, М нүктесінің радиус векторымен Оху жазықтығындағы проекциясы OM’ тің оң бағыттары арасындағы бұрыш. Нүктенің түзу сызықты декарттық координаттары х,у,z және қисық сызықты сфералық координаттары арасындағы байланысты, суреттің көмегімен алынған мына тендіктермен өрнектейміз:

X=r cos Өcosφ; y=r cos Өsinφ; z=r sinӨ

Сфералық координаттардың өстерінің бойымен бағытталатын бірлік векторларды e_r, e_φ, e _Ө деп белгілейік. Олар бір бірімен тік бұрыш жасай бағытталады.

Жылдамдықтың жалпы жағдайдағы қисық сызықты координаттар өстеріне жіктелуін өрнектейтін

υ=H₁q₁e₁+H₂q₂e₂+H₃q₃e₃

Формуласын сфералық координатаға лайықты етіп жазайық:

_{r r}+ +

Мұндағы H_r, H_φ, H_Ө сфералық координаттармен берілген Ламе коэффициенттері төмендегі формуламен анықталады:

= (1)

Мұндағы, H_r Ламе коэффициентін анықтауға керекті х,у,z координаттардан бойынша алынған дербес туындыларды есептейік:

= (2)

H_φ Ламе коэффициентін анықтауға керекті х,у,z координаттардан бойынша алынған дербес туындыларды есептейік:

= (3)

H_Ө Ламе коэффициентін анықтауға керекті х,у,z координаттардан бойынша алынған дербес туындыларды есептейік:

= , = , =

=-r , =r , =0.

=- , =sin𝜃cos =r cos𝜃.

(1),(2),(3) Тендіктердегі дербес туындылар мәндерін (1) тендіктеріндегі орындарына қойсақ, одан әрі жүргізілетін есептеулерді орындасақ, Ламе коэффициенттерін табамыз:

Қорыта келгенде, H_r=1, H_φ=rcosӨ, H_Ө=r. (5)

Жылдамдық векторының сфералық координаттар өстеріне жіктелуін көрсететін формула бойынша:

= , = , = . (6)

Екенін көреміз.

(5)Тендіктердегі Ламе коэффициенттерін мәндеріooн (6) дағы орындарына қойсақ:

= , =r , =r . (7)

Тендіктерін аламыз. Бұл формулалар жылдамдық векторының сфералық координатттар өстеріндегі проекцияларын өрнектейді.

Сфералық координаттар жүйесі ортогоналдық жүйе болғандықтан, жылдамдық квадратын (7) дағы проекциялары арқылы мына формуланы табуға болады:

=

Бұдан жылдамдықтың өрнегін екі жағынан квадраттасақ:

= + 𝜃+ .

33 - cұрақ. Тороидтық координаталардағы нүкте үдеуін қорытыңыз.

М нүктесінің кеңістіктегі орны түзу сызықты декарттық координанттар жүйесінде х,у,z координаттармен, ал сфералық координаттар жүйесінде - параметрімен анықталады.

q₁=ρ q₂=φ q₃=ψ

Енді нүктенің түзу сызықты декарттық координаттары х,у,z және қисық сызықты тороидтлық координаттары арасындағы байланысты теңдейдң жазамыз:

X=(a+ρcosφcosψ) Y=(a+ρcosφsinψ) Z=ρsinφ

Тороидтық координаттардың осьтерінің бойымен бағытталатын бірлік бекторларды е_ρ е_φ е_ψ деп белгілейік.

Жылдамдықтың жалпы жағдайдағы қисық сызықты координаттар өстеріне жіктелуін өрнектейтін

υ=H₁q₁e₁+H₂q₂e₂+H₃q₃e₃

формуласын тороидтық координатаға лайықты етіп жазсақ:

Мұндағы H_r, H_φ, H_Ө сфералық координаттармен берілген Ламе коэффициенттері төмендегі формуламен анықталады:

= =

=

, =sinφ

,

Осы өрнектерді пайдалана отырып Алме коэффициентінің мәнін анықтаймыз. Ламе коэффициентінің мәні:

Жылдамдық векторының тороидтық координаттар өстеріне жіктелуін көрсететін формула бойынша:

Жылдамдықтың формуласы

А нықталған жылдамдықты пайдаланып нүкте удеуін мына формула бойынша қорытамыз:

Бұл форуланы тороидтық коорданата бойынша былай жазамыз:

34-сұрақ. Сыртқы күштер және олардың түрлерін сипаттаңыз.

СЫРТҚЫ КҮШТЕР. Құрылыс конструкциялары немесе машиналар қызметтерін атқарған кезінде, олардың өзара байланысқан бөлшектері бір-біріне қаңдай да бір күшпен әсер етіп тұрады. Мысалы, вагонға тиелген жүктің салмағы рессорлары арқылы осьтерге, одан дөңгелектерге, дөңгелектерден рельске түседі. Сол сияқты плотинаның салмағы, ондағы судың қысымы табаны арқылы жерге беріледі. Денеге, оны сырттай қоршаған ортадан немесе көрші денеден берілетін күшті сыртқы күш деп атайды. Сыртқы күштер денеге беттері немесе тұтас көлемі арқылы берілуі мүмкін. Беті арқылы берілетін сыртқы күш беттік, алкөлемі арқылы берілетін сыртқы күш көлемдік күш деп аталады.Күштерді, олардың өзгеру заңдылықтарына және әсер ету ерекшеліктеріне байланысты бірнеше түрге бөледі.

Қадалған күш деп, конструкция элементтеріне нүкте аркылы берілетін күшті айтады; өлшем бірлігі ньютон (Н), килоньютон (кН, меганьютон (МН). Негізінде, күш денеге нүкте арқылы берілуі мүмкін емес. Мысалы, вагонның дөңгелегінен рельске берілетін күш кішігірім аудан арқылы таралады. Сен-Венан принципі бойынша бұл ауданды нүктемен, ал таралған күшті қадалған күшпен алмастыруға болатынын жоғарыда атап өттік

Қарқындылық деп, бірлік ауданда әсер етіп тұрған күштің шамасын айтады. Біркелкі таралған тұрақты күштің кез келген нүктедегі қарқындылығы өзара тең, ал бірқалыпсыз таралған айнымалы күштің қарқындылығы әр түрлі. Мысалы, үй шатырының үстінде жатқан қардың салмағы шатыр бетіне біркелкі жайылып таралған тұрақты, яғни кез келген нүктедегі қарқындылығы бірдей (I.3, а-сурет). Құрылыс алаңына үйіліп төгілген құмның салмағы алаң бетіне бірқалыпсыз таралып түседі, яғни кез келген нүктедегі қарқындылығы бірдей емес (I. 3, б-сурет).

Денеге тұтас көлемі арқылы берілетін күштер, бірлік көлемде әсер етіп тұрған күш шамасымен, яғни қарқындылығымен сипатталады; өлшем бірлігі Н/м³, кН/м³, МН/м³. Серпімділік теориясында денеге әсер ететін көлемдік күш, оның көлемінде қатаң түрде үздіксіз біркелкі жайылып таралады деп қарастырылады.Уақытқа байланысты шамасы өзгермей әсер етіп тұрған күшті тұрақты, ал уақыт аралығында әсер ететін күшті уақытша күш деп атайды. Мысалы, өтіп бара жатқан поездың темір жол көпіріне түсетін салмағы уақытша, ал көпірдің өз салмағы тұрақты.Әсер ету жылдамдығына байланысты сыртқы күштерді статикалық және динамикалық күштер деп ажыратады.Статикалық күш деп нөлден соңғы шамасына жеткенше жылдамдығы баяу, жеткен соң тұрақты болып қалатын күшті айтады.

Динамикалық күштердің әсер етуі жылдам. Мұндпй күштің әсерінен конструкция немесе оның элементтері елеулі тербелістерге ұшырайды.Тебіліс жылдамдығының өзгеруіне байланысты конструкцияда пайда болатын, оның массасы мен үдеуінің көбейтіндісіне тура пропорционал инерция күші шамасы жағынан конструкцияда тебіліс тудырушы, сыртқы күштердің шамасынан бірнеше есе үлкен болуы мүмкін. Машина бөлшектеріне уақытқа тәуелді, периодты түрде қайталанып түсетін күштерді айнымалы-қайталанбалы күштер деп атайды.

35-сұрақ. Қималар әдісін және оның қажеттілігін түсіндіріп, сипаттаңыз.

Құрылыста немесе машина өндірісінде қолданылатын конструкциялық материалдар атомнан тұратыны, ал атомдар өзара атомдық күшпен байланысып тепе-теңдік күйде болатыны физика курсынан мәлім. Материалдардың беріктігі, атомдардың атомдық күш шамасына байланысты. Атомдық күш неғұрлым үлкен болса, материал солғұрлым берік, кіші болса — осал. Сыртқы күш әсерінен денеде атомдық күш қаңдай да бір қосымша шамаға өзгереді. Бұл қосымша шама, материалдар кедергісі ғылымыңда ішкі күш деп аталып, конструкция элементтерінің сыртқы күш әсеріне қарсыласу қабілетін көрсетеді. Сондықтан, "Материалдар кедергісі" пәнінде атомдық күш емес, тек ішкі күштердің өзгеру заңдылығы зерттеледі. Ішкі күштің өзгеру мөлшері, сыртқы күштің өзгеру мөлшерімен тең болғанда ғана, конструкция элементтері жұмыс істеу қабілеті мен тепе-теңдік күйін сақтайды. Бұл күштердің өзара теңсіздігі конструкцияның орнықтылығын жоғалтуына немесе, қирап сынуына әкеліп соқтырады.

Ішкі күштерді табу үшін қию әдісі қолданылады. Бұл әдіс —"Дене тепе-теңдік күйде тұрса, онда оның кез келген бөлігі де тепе-теңдік күйде болады",— деген механика заңдылығына негізделген. Қию әдісін пайдалану жолы келесі мысалда көрсетілген.

Берілген брус бір жазықтықта жатпайтын бірнеше сыртқы күштердің әсерінен тепе-теңдік күйде тұрсын(I, 6, а-сурет). Брусты А—А жазықтығымен В мен С бөліктеріне бөлсек, бұл бөліктердің көлденең қима ауданы арқылы бір-біріне тигізетін әсері, яғни ішкі күштері, шамасы жағынан тең, бағыты жағынан қарама-қарсы. Дененің В немесе С бөліктеріне әсер ететін ішкі және сыртқы күштер өзара тепе-теңдік күйде. Сондықтан, ішкі күштерді дененің кез келген бөлігі үшін құрылған тепе-теңдік теңдеулерінен анықтауға болады. Көрсетілген көлденең А қимасындағы ішкі күштерді табу үшін сыртқы күш факторлары аз С бөлігін қарастырған ыңғайлы, өйткені, бұл бөлік үшін құрылған тепе-теңдік теңдеулері В бөлігі үшін құрылатын теңдеулерден гөрі алдеқайда ыкдшамды.

Брустың В бөлігінен А қимасы арқылы С бөлігіне ішкі күштер үздіксіз жайылып таралып беріледі (І.6,б-сурет). Жалпы жағдайда, бұл ішкі күштер қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін, басты вектор деп аталатын К күшіне және басты момент деп аталатын М моментіне келтіріледі (І.6,в-сурет). Басты векторды ОХ, ОY, OZ осьтерінің бойында жатқан , , құраушы күштеріне, ал бас моментті , , құраушы моменттеріне жіктейік. Бұл құраушы күштер менмоменттер ішкі күш компоненттері немесе факторлары деп аталады. — көлденең қимаға перпеңдикуляр бойлық ось бойымен әсер етеді, сондықтан оны бойлық күш деп, ал ОХ, ОҮ осьтеріне параллель әсер ететін , ішкі күштерін көлденең немесе жанама күштер деп атайды. М_х, М_у моменттерін ию, ал моментін бұрау моменттері деп ажыратады.

Сыртқы күштердің әсерінен пайда болған денедегі серпімді деформадия дененің өлшемдеріне қарағанда шексіз кіші, сондықтан, дененің бөліктері үшін теориялық механиканың келесі тепе-теңдік теңдеулерін қолдануға болады

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) . I.03

Бірінші үш теңдеуден , , ішкі күштері, ал соңғы үшеуінен , , ішкі моменттері анықталады. Бұл мысалда брусқа әсер ететін сыртқы күштер бір жазықтықта жатпайды деп жалпы жағдайды қарастырдық. Енді іс жүзінде жиі кездесетін қарапайым жағдайларды атап өтейік.

Егер дененің кез келген көлденең қимасында:

1. тек қана пайда болса, онда мұндай деформация созу немесе сығу ( күшінің бағытына байланысты) деп аталады;

2. тек қана немесе пайда болса, деформация ығысу делінеді;

3. тек қана М_хнемесе М_упайда болса, деформация таза иілу деп аталады;

4. тек қана , М_хпайда болса, деформация вертикаль жазықтықтаеы иілу (немесе тік иілу) делінеді;

5. тек қана , М_упайда болса, деформация горизонталь жазықтықтағы иілу (көлденең иілу) делінеді;

6. тек қана пайда болса, деформация бұралу деп аталады.

Конструкция элементтері күрделі деформацияланған да, олардың көлдденең қималарында бір мезетте бірнеше ішкі факторлар пайда болады.

36-сұрақ. Деформация және кернеу ұғымын түсіндіріңіз. Олардың теңдеулерін сипаттаңыз.

Қаңдай дене болмасын сыртқы күш әсерінен өздерінің өлшемдері мен пішіндерін өзгертеді, деформацияланады.

Дененің сызықты өлшемдерінің өзгеруі сызықтық деформация, ол бұрыштық өлшемдерінің өзгеруі бұрыштық деформация делінеді.

Деформация нәтижесінде дененің сызықтық өлшемінің өсуі — созылу (ұзару), ал кемуі — сығылу (қысқару) деп аталады.

Деформация материалдың атомдарының ара қашықтықтарының өзгеруі менатом блоктарының орын ауыстыруы салдарынан туады. Оның табиғатын толық зерттеп білу үшін, жазық дененің кез келген нүктесінің жанынан өзара перпендикуляр АВ_, СА түзулерін алайық (I. 5, а-сурет).

Дене деформацияланғанда АС түзу сызығы ∆s шамасына ұзарады (1.5, б-сурет). Оның орташа сызықтық салыстырмалы деформациясы келесі формуламен аныкталады

I.01

Бұл қатынастың бөліміндегі АС кесіндісінің ұзындығы s нөлге ұмтылғандағы шегі А нүктесіндегі толық салыстырмалы деформацияны анықтайды.

. I.02

Енді бұрыштық деформацияны қарастырайық. Деформацияға дейінгі ВАС тікбұрышы мен деформациядан кейінгі В А С сүйір бұрышының арасындагы айырма берілген нүктенің бұрыштық деформациясын сипаттайды.

Сонымен күш түскен дененің кез келген нүктедегі деформациясы сызықтық салыстырмалы және бұрыштық деформациялармен сипатталады. Денеде пайда болған сызықтық және бұрыштық деформациялар сырттан әсер етуші күш жойылғанда толық жойылуы немесе жойылмауы да мүмкін. Сыртқы күш әсері жойылғанда, денедегі деформация да жойылса, ондай деформацияны серпімді деп, ал деформация толық жойылмай қалса, онда қалдық деформацияны пластикалық деформация деп атайды. Егер дененің бекіту шарттары мен нүктелеріндегі деформацияньщ шамасы белгілі болса, онда кез келген нүктенің деформациядан кейінгі орнын, яғни орын ауыстыру шамасын анықтауға болады. Машина бөлшектері серпімді деформацияланғанда ғана олардың жұмыс істеу қабілеті қамтамасыз етіледі. Соңдықтан, нүктелердің ең үлкен орын ауыстыру шамасы белгілі бір мүмкіндік шамадан аспауы керек. Мұндай шарт теңсіздік ретінде көрсетіліп, қатаңдық шарты деп аталады.

КЕРНЕУЛЕР

Ішкі күштер дененің бір бөлігінен екінші бөлігіне көлденең қима арқылы үздіксіз жайыла таралып беріледі. Олардың әсер ету заңдылығын білу үшін қима бетінде жатқан В нүктесін қарастырайық (I. 8, а-сурет). Нүктені қоршаған шексіз кіші ауданды ал ол ауданға сәйкес келетін ішкі күшті деп белгілейік. Ішкі күш -ның шексіз кіші аудан -ке қатынасы В нүктесіндегі ішкі күштің орташа шамасын, яғни орташа кернеуді анықтайды.

I.04

Шексіз кіші аудан нөлге ұмтылғандағы көрсетілген қатынастың шегі В нүктесіндегі толық кернеу деп аталады

I.05

Толық кернеудің көлденең қима жазықтығына перпендикуляр OZосіне түсірілген проекциясы тік кернеу деп аталып, әрпімен белгіленеді, ал қима бетіне түсірілген проекциясы жанама кернеу деп аталып, әрпімен белгіленеді (1.8, б-сурет).

Суреттен, толық кернеу екендігін көреміз.

Сыртқы күштердің әсер ету ерекшеліктеріне байланысты жанама кернеудің бағыты әр түрлі болуы ықтимал. Сондықтан, ол OX, OY осьтеріне параллель , құраушыларына жіктеледі (1.8 ,б-сурет).

Тік кернеудің z индексі оның осы оське параллель екендігін көрсетеді. Жанама кернеулерде көрсетілген индекстердің біріншісі олардың бағыттарының қай осьтерге параллель екендігін, ал екіншісі жатқан жазықтықтарына перпендикуляр осьтердің бағыттарын көрсетеді; өлшем бірліктері Н/м² — паскаль (Па),

Толық кернеуді тік және жанама кернеуге жіктеуде физикалық мағына бар. Мысалы, сыртқы күш әсерінен дененің шексіз кіші бөлшектері бір-бірінен ажырап кетуге немесе жақындауға ұмтылуы, бұл денеде пайда болған ішкі күш тік кернеу екенін, ал материал бөлшектерінің қандай да бір жазыктықта ығысуы, бұл жазықтықта жанама кернеудің әсер етіп тұрғанын көрсетеді.

Сонымен, көлденең қима жазықтығында жатқан В нүктесінде , , кернеулері әсер етеді. Мұндай кернеулер, нүкте арқылы өтетін кез келген жазықтықтарда пайда болады (І.9-сурет).

Нүкте арқылы өтетін, өзара перпендикуляр үш жазықтықтардағы кернеулер белгілі болса, онда нүктенің кернеулікүйі анықталған деп есептеледі.Өйткені, осы кернеулер арқылы, кез келген басқа жазықтықтардағы белгісіз кернеулерді анықтауға болады (нүктелердің кернеулі күйі IV тарауда зерттелген).

І.9-суретте В нүктесінің жанынан езара перпендикуляр үш жазықтықпен кесіп алынған шексіз кіші элемент көрсетілген. Элементтің жазықтықтарындағы кернеулердің жинағы В нүктесінің кернеулі күйін толық анықтайды. Элемент шексіз кіші болғандықтан беттерін аудан, ал параллель қарама-қарсы аудандарындағы кернеулерді өзара тең деп қарастыруға болады.

Материалдардың беріктігі кернеулер бойынша бағаланады. Мысалы, созылған конструкция элементі сенімді қызмет атқару үшін, оның көлеміндегі ең үлкен кернеу белгілі бір мүмкіндік шамадан аспауы керек. Мұндай шарттар теңсіздік ретінде көрсетіліп беріктік шарттары деп аталады.

37-сұрақ. Тік білеудің созылуы және сығылуы. Созылуы және сығылу кезіндегі бойлық күшті анықтау және оның эпюрасын тұрғызыңыз.

БОЙЛЫҚКҮШ

Сыртқы күштердің әсерінен созылған немесе сығылған брустың кез келген көлденең қимасындағы бойлық күші деп, осы қимада пайда болатын ішкі тік кернеулердің қорытынды шамасын айтады. Бойлық күш (N )қима әдісімен анықталады. Анықтау жолын келесі мысалда көрсетейік (III.1-сурет). Брустың бойлық күшінің өзгеру заңдылығы тұрақты болатын бөлігін аралық деп атаймыз. Берілген брус екі аралықтан тұрады. Суретте аралықтар рим цифрларымен белгіленген. Бірінші аралықтың I—I қимасындағы бойлық күшт анықтау үшін, брусты осы қима арқылы жазықтық пен ойша екіге бөлемізде, сол жақ бөлігін алып тастаймыз (III.1, б-сурет). Алып тасталынған бөліктің оң жақ бөлікке әсерін қимадан солға қарай бағытталған созушы ішкі N₁ күшімен алмастырамыз. Қалған оң жақ бөлік сыртқы Р₁ күшімен ішкі N₁ күшінің әсерлерінен тепе-теңдік күйде болады, яғни

бұдан

Бойлық күштің теріс таңбасы, оның алғашқы алынған бағытын кері өзгерту керек екенін көрсетеді (III.1, б-сурет). Дәл осылай, екінші аралықтың II—II қимасындағы бойлық күшті табуға болады (III.1, в-сурет)

осыдан

Сонымен, кез келген қимадағы бойлық күш, қиманың бір жағында жатқан барлық сыртқы күштердің бойлық оське түсірілген проекцияларының алгебралык қосындысына тең.

Бойлық созушы күш оң, ал сығушы күш теріс таңбалы деп саналады. Бойлық күштің брус бойындағы өзгеру заңдылығын кескіндейтін график эпюр деп аталады