12. Определение тройного интеграла и его свойства.

    Определение и свойства тройных интегралов
    Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана. Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования U имеет вид параллелепипеда (рисунок 1). Рис.1 Пусть множество чисел {x0, x1, ..., xm} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz: Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением имеет вид Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi−1, xi)× ( yi−1, yi)×(zi−1, zi), а приращения равны Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю: Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед , включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде: Основные свойства тройного интеграла Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства: , где k - константа; Если в любой точке области U, то ; Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и U2, то; Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка: г де V - объем области интегрирования U. Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0 U, такая, что где V - объем области U.
    Тройные интегралы в декартовых координатах
    Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху – поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что ф ункции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D. Рис.1 Рис.2 Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно а писать соотношение Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y. Если область D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями где φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному. В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

13. Тройные интегралы в цилиндрических координатах

    В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z – проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах). Рис.1 Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями Здесь предполагается, что Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид: Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

14. Геометрические приложения тройных интегралов

Геометрическое приложение - вычисление объема любого пространственного тела.

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример

Найти объем шара x ² + y ² + z ² ≤ R ² .

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.

Физические приложения тройных интегралов

Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M (x,y,z ) задана функцией ρ (x,y,z ). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если тело является однородным с плотностью ρ (x,y,z ) = 1 для точек M (x,y,z ) в области U , то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом .

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Тензор инерции

Используя рассмотренные выше 6 чисел I_x , I_y , I_z , I_xy , I_xz , I_yz , можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:

Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz' . Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции , а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции .

Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P (x,y,z ) называется интеграл

где ρ (ξ,η,ζ ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ (ξ,η,ζ ) по формуле

где G − гравитационная постоянная.

Пример

Найти массу шара радиуса R , плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar ² , где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Криволинейные интегралы первого рода

Определение Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1). Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C. Рис.2 Свойства криволинейного интеграла первого рода Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами: Интеграл не зависит от ориентации кривой; Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то В полярных координатах интеграл выражается формулой где кривая C задана в полярных координатах функцией . Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат Криволинейного интеграла первого рода в декартовой системе координат вычисляется по формуле    Действительно, Вычисление криволинейного интеграла первого рода в параметрической форме    Пусть линия интегрирования задана в параметрической форме х = φ (t), у = ψ(t). Тогда где А(φ(α), ψ(α)), В( φ(β), ψ(β)) .    Действительно, по определению криволинейного интеграла первого рода имеем