7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле

Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить знаком равенства (=), т.е. условия, при которых ряд Фурье функции  сходится и имеет своей суммой как раз функцию  .

Будем рассматривать функции  , имеющие период  . Такие функции называются 2π-периодическими. Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть 2π-периодическая функция на отрезке  удовлетворяет двум условиям:

1)  кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода.

2)  кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующей функции  ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда  совпадает с самой функцией  .

2. В каждой точке  разрыва функции сумма ряда равна  . Т.е. равна среднеарифметическому пределу функции  справа и слева.

3. В точках  и  (на концах отрезка) сумма ряда равна  .

Таким образом, если функция  удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке  имеет место разложение  , причем коэффициенты вычисляются по полученным ранее формулам для ( ). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции  и на концах отрезка  . В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в различных научных задачах. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложения функции в ряд, но не необходимое.