54. Ряд Фурье. Интеграл Фурье Тригонометрическая система

     Коэффициенты Фурье функции f периода   

либо

     Ряд Фурье функции f 

     Если f четная, то   ряд Фурье 

     Если f нечетная, то   ряд Фурье 

     Если функция f кусочно-дифференцируема, то

    Неравенство Бесселя 

     Равенство Парсеваля 

     Ряд Фурье в комплексной форме 

     Ряд Фурье функции периода 2l по системе 

Где

(коэффициенты Фурье).

     Ряд Фурье функции f по ортогональной системе функций   на отрезке [a; b] 

где 

55. Тригонометрический ряд Фурье

При изучении процессов, имеющих периодический характер, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, более целесообразно разлагать функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция  , определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом  значение  и выполняется равенство  .

Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его на всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции:

1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T есть периодическая функция с периодом T.

2) Если функция  имеет период T, то функция  имеет период  : действительно,  .

3) Если функция  имеет период T и интегрируема на отрезке  , то  при любых  и b .

Доказательство: пусть  , тогда  , с другой стороны  , но  . Подставляя полученный результат, получим  ч.т.д.

В частности,  . Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции  и  . Период этих функций равен 2π, т.е.  . Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое формулой

 (1)

, где А – амплитуда колебаний, ω – частота, φ₀ – начальная фаза.

Функцию такого вида называют простой гармонической. Основным периодом этой функции является  , т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени  (а ω показывает, сколько колебаний совершает точка в течении 2π единиц времени).

Проведем преобразование этой функции  , где

, (2)

. Отсюда видно, что простое периодическое колебание описывается функциями  и  .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями типа  и  . Так, функция  или, что равносильно, функция  задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармонии есть  , второй  , третьей  и т.д., а период функции  (нулевая гармония) есть любое чисел, то функция  имеет период, равный 2π, т.е.  .

Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодическую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (периодический процесс). Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (1) и (2). Если да, то как найти неизвестные параметры каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй, а затем на первый вопрос.

 

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида  , где действительные числа a₀…a_n, b_n (n=1,2…) называются коэффициентами ряда. Этот ряд можно записать в виде  . Действительно, положив  ,  , получим  ч.т.д., при этом  и  . Свободный член ряда записан в виде  для единообразнополучающихся в дальнейшем формул.

Приведем соотношения, которые нам в дальнейшем пригодятся. Считая m и n целыми и положительными, найдем  (1),

, при любом n. (2)

(3)

(4)

 

(5)

Формулы (1-5) показывают, что функции  ,  , …  ,  обладают свойством ортогональности – интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющий длину 2π, равен нулю. Кроме того, соотношения (1-5) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок  .

Пусть  - произвольная периодическая функция с периодом 2π. Предположим, что функция  разлагается в тригонометрический ряд, т.е.  является суммой ряда  (6)

Так как функция  и сумма ряда имеют период 2π, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок , также удобно взять отрезок  и предположим, что наш ряд на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты  и  . Для этого проинтегрируем обе части ряда в пределах от –π до π.  интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны 0 в силу формул (1) и (2). Отсюда  . Умножив обе части нашего ряда (6) на  и проинтегрировав полученный ряд в пределах от –π до π., получим  . В силу соотношений (1) (3) и (4) из этого соотношения при  получим  , откуда  ,  Аналогично, умножив соотношение (6) на  и проинтегрировав почленно на отрезке  , найдем  ,  Числа  , определяемые по приведенным выше формулам, называются коэффициентами Фурье функции  , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами рядом Фурье функции  . Для интегрируемой на отрезке  функции  записывают  ~ и говорят, что функции  соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, его сумму обозначают  .