50. Свойства степенных рядов

1. Если  , т.е. ряд (3.10) сходится в круге  , то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге  , где   — любое положительное, меньшее   число,  . Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.

2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости.

Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда   дифференцированием, т.е. ряд  или, что удобнее,  , и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд , сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда.

Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда   через  , где  . Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием:  . Общий член этого ряда  запишем в виде  , где  , а   — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е.  , где

Следовательно,  . Здесь использован известный предел  , частный случай которого   был использован при решении примера 3.3. Так как ряд   получается из ряда   интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется.

Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

51. Действия над степенными рядами

Кроме упомянутых выше свойств дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри круга сходимости как рядов, равномерно сходящихся, они обладают в круге сходимости общими свойствами сходящихся, в частности абсолютно сходящихся, рядов: ряды можно складывать и перемножать, т.е. рассматривать сумму и произведение рядов; можно также рассматривать их отношение — деление рядов.

Рассмотрим подробнее арифметические действия над степенными рядами. Обозначим   и   — радиусы сходимости двух рядов   и  .

1. В общей области сходимости, т.е. в круге  , где  , можно рассматривать сумму (разность) рядов: ряд  . Радиус сходимости полученного ряда не меньше  . Сумма   нового ряда равна  , где  и   — суммы рядов — слагаемых.

2. В круге   можно рассматривать произведение рядов:

Получаем ряд  , где  . или  . Радиус сходимости полученного ряда не меньше  , его сумма   равна  , где   n   — суммы рядов — сомножителей.

3. В некоторой окрестности точки   можно рассматривать отношение рядов   (делимое) и   (делитель) при условии  . Частным этих рядов будет ряд  , такой, что выполняется равенство Коэффициенты   определяются, как и в случае многочленов, методом неопределенных коэффициентов или делением "углом".

Замечание 3.2. При сложении и умножении рядов, как отмечено выше, может получиться ряд, сходящийся в большей области, чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов:  .

Приведем пример, подтверждающий это свойство. При сложении рядов   и  , для которых, как нетрудно проверить, имеем  , получим ряд . Радиус сходимости этого ряда  .

Рассмотренные арифметические операции- над рядами используются при решения задач разложения функции в степенные ряды: функций вида

52.

53. Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области  , в окрестности каждой точки   этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости   которого не меньше, чем расстояние от точки   до границы области  . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где   — произвольный контур, принадлежащий области   и охватывающий точку  , в частности,   — окружность  или по формуле

(3.17)

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.