Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

 

Теорема 1 (признак сравнения). Если члены двух числовых рядов   и   удовлетворяют неравенству   для любых n, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда. Из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Пример. Рассмотрим ряд  . Сравним его с гармоническим рядом  .

,            .

По признаку сравнения данный ряд расходится.

Теорема 2 (признак Даламбера). Если для числового ряда   существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

, то:

а) при   ряд сходится;

б) при   ряд расходится;

в) при   вопрос о сходимости открыт.

Пример 1.  ,  .

= а,

при          ряд сходится,   ряд расходится.

Пример 2.  .

= .

Ряд расходится.

свойства абсолютно сходящихся рядов

1) Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (Теорема Дирихле. Переместительное свойство).

2) Абсолютно сходящиеся ряды с суммами   можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна   (или соответственно   ).

3) Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами   есть абсолютно сходящийся ряд с суммой   . Под произведением двух рядов понимают ряд вида: 

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируют, вычитают, перемножают как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи их членов.

В случае условно сходящихся рядов перечисленные свойства не имеют места. Поэтому действия над рядами нельзя производить. Не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

48.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида где x0 − действительное число. Интервал и радиус сходимости Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле или на основе признака Даламбера:

Пример 1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  . Решение. Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид  . Вычислим радиус сходимости:        Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и в интервале На любом отрезке указанный ряд сходится равномерно.

Доказательство. Поскольку ряд сходится, то его общий член поэтому последовательность ограничена, т.е. существует постоянная такая, что

 Пусть теперь . Тогда будем иметь

 Поскольку геометрическая прогрессия сходится ( ), то по первой теореме сравнения сходится и ряд Первая часть теоремы доказана.

Далее, пусть таков, что Тогда

 Так как по доказанному ряд сходится и он мажорирует при (см. ) ряд , то по теореме Вейерштрасса последний ряд сходится равномерно при Теорема полностью доказана.

Из теоремы Абеля вытекает, что мы можем расширять интервал до тех пор пока не настанет момент, когда в точке ряд будет расходиться (или такой момент вообще не настанет, т.е. ). Тогда указанный интервал будет областью сходимости ряда Таким образом, любой степенной ряд имеет в качестве области сходимости не произвольное множество, а именно интервал. Дадим более точное определение интервала сходимости.

49. Радиусом сходимости степенного ряда  называется такое числоR, при котором ряд сходится, если  , и расходится, если  .

Для нахождения радиуса сходимости Rсоставим ряд из абсолютных величин членов ряда  и применим признак Даламбера. Найдем

.

В соответствии с признаком Даламбера ряд сходится, если этот предел меньше единицы, т. е.

,

и расходится, если  .

Отсюда следует, что радиус сходимости равен

.

При использовании данной формулы необходимо не забывать, что в этой формуле  и  коэффициенты в членах степенного ряда при х в степени n иn+1, а не члены ряда.

С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При  степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости  .

Пример 9.1.Найти область сходимости ряда  .

Находим радиус сходимости

.Интервал сходимости ряда  .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При  ряд имеет вид  является знакочередующимся, его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. По теореме Лейбница он сходится (см. пример 8.15).

При  ряд  является гармоническим. Как известно он расходится.

Следовательно, область сходимости ряда  .