4. Обобщённая формула интегрирования по частям в определённом интеграле

   Многократное применение вышеприведённой формулы интегрирования по частям к интегралу вида

приводит к обобщённой формуле интегрирования по частям

   Для облегчения выполнения интегрирования по частям рекомендуется заполнение таблицы по следующему правилу

+	—	+	…	(-1)n	(-1)n + 1
u	u '	u ''	…	u (n)	u (n + 1)
v (n)	v (n - 1)	v (n - 2)	…	v

   Умножая соответствующие элементы в столбцах этой таблицы с учётом знаков в первой строчке, получим слагаемые вне знака интеграла. Конечное интегральное слагаемое формируется с учётом соответствующего знака в первой строчке, конечного элемента второй строчки и предпоследнего элемента третей строчки таблицы.    При заполнении таблицы составляющие второй строки дифференцируется, а составляющие третьей строчки интегрируется.    Целесообразность применения формулы связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример применения интегрирования по частям в определённом интеграле

   Вычислить интеграл .    Решение.

Откуда получаем рекуррентную формулу

.

Применение этой формулы приводит к интегралам

,

В частности

.

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b]. Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞) Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится. Теоремы сравнения Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞). Если сходится, то также сходится; Если расходится, то также расходится; Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся. Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися. Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

6. Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

 1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если на отрезке [a, b],  непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).

  рис. 10 рис. 11

 П р и м е р 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

 

  =

  кв. ед. (рис. 12).

1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями   t   в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим , где  и   значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т. е. .

П р и м е р 16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью .

 Замечание. Циклоида  плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a, катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13).

 Решение. Искомая площадь

; .

П р и м е р 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , y = 2 .

Решение. Из условия задачи следует, что y>0 при любом t. Решим неравенство

, , .

Но по условию . При k = 0

 2  t  3 2  , .

При x не будет принадлежать интервалу . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14).

Искомая площадь

 

.