45. Признак Коши

Если для ряда с положительными членами U₁+U₂+…+U_n+… , величина  имеет конечный предел r при  , т.е.

, то

1. r<1 ряд сходится;

2. r>1 ряд расходится;

3. r=1 признак определенного ответа о сходимости ряда не дает.

Пример 4: Исследовать по признаку Коши ряд

Замечание: При исследование сходимости ряда применение признака Даламбера оказывается практически более простым, чем применение признак Коши. Следует, однако, знать, что признак Коши сильнее признака Даламбера. Это значит, что исследование сходимости ряда с помощью признака Коши может иногда привести к цели и в тех случаях, когда признак Даламбера оказывается бессильным. Но если признак Коши не решил вопроса о сходимости ряда, то нечего пытаться доказывать его сходимость при помощи признака Даламбера. 

46. Знакочередующиеся ряды

     Переходя к рассмотрению рядов, члены которых уже не обязательно положительны, остановимся сначала на одном важном частном типе этих рядов - на рядах знакочередующихся, теория которых сравнительно проста.

     Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков.

     Несколько изменяя употреблявшуюся выше символику, будем обозначать через a_n не сам общий член ряда, а его абсолютную величину. Тогда, предполагая для определенности, что первый член знакочередующегося ряда положителен, мы сможем записать этот ряд в форме^*

a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + a₅ - ...     (36)

     Теорема Лейбница. Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится.

     Действительно, допустим, что ряд (36) таков, что

a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > ...,     (37)

     (38)

Образуем частичные суммы S_2n:

                              S₂ = (a₁ - a₂),

                              S₄ = (a₁ - a₂) + (a₃ - a₄),

                              S₆ = (a₁ - a₂) + (a₃ - a₄) + (a₅ - a₆),

                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

Благодаря (37), все скобки положительны. Значит,

S₂ < S₄ < S₆ < ...

     Иначе говоря, последовательность {S_2n} возрастает. С другой стороны,

S_2n = a₁ - (a₂ - a₃) - (a₄ - a₅) - ... - (a_2n-2 - a_2n-1) - a_2n,

откуда ясно, что

S_2n < a₁.

     Как известно, при этих условиях существует конечный предел

НоS_2n+1 = S_2n + a_2n+1,

откуда в связи с (38) вытекает, что сумма S_2n+1 с возрастанием n также стремится к S. Итак, при достаточно больших n сумма S_nбудет сколь угодно близка к S независимо от четности n. Иначе говоря,

чем и доказана теорема.

     Заметим, что теорема перестает быть верной, если отбросить условие убывания a_n. Например, знакочередующийся ряд

как легко видеть, расходится^**.

47. Абсолютная сходимость

     Теперь рассмотрим такие ряды, знаки членов которых уже совершенно произвольны. При этом снова будем обозначать черезa₁, a₂, a₃ ... сами члены ряда.

     Теорема 1. Сопоставим с рядом

a₁ + a₂ + a₃ + ...     (39)

ряд

|a₁| + |a₂| + |a₃| + ...,     (40)

составленный из абсолютных величин членов данного ряда. Если сходится ряд (40), то сходится и исходный ряд (39).

     В самом деле, пусть ряд

b₁ + b₂ + b₃ + ...     (41)

есть ряд, состоящий из всех положительных (или равных нулю) членов нашего ряда (39) [причем их взаимное расположение таково же, как и в ряде (39)]. Пусть, далее,

c₁ + c₂ + c₃ + ...     (42)

есть ряд^* абсолютных величин отрицательных членов ряда (39) (также расположенных в том порядке, в котором эти члены следуют друг за другом в исходном ряде).

     Каждый из рядов (41) и (42) получается из сходящегося положительного ряда (40) путем вычеркивания части его членов (например, чтобы из (40) получить (41), надо вычеркнуть из (40) числа c₁, c₂, c₃, ...). Поэтому в силу теоремы 4 ряды (41) и (42) сходятся. Обозначим их суммы соответственно через B и C.

     Обозначим, далее, через A_n, B_n и C_n частичные суммы рядов (39), (41) и (42). Пусть среди чисел

a₁, a₂, a₃, ..., a_n

имеется m(n) неотрицательных и p(n) отрицательных.

     Тогда

A_n = B_m(n) - C_p(n).

     Правая часть этого равенства с ростом n стремится к разности B - C. Значит, и левая часть стремится к тому же пределу. Теорема доказана.

     Заметим, что из сходимости ряда (39) не вытекает, что сходится (40). Например, ряд

сходится (это следует хотя бы из теоремы Лейбница), но ряд, составленный из абсолютных величин, будучи гармоническим, расходится.

     Таким образом, требование сходимости ряда (40) представляет собой более тяжелое требование, чем требование сходимости ряда (39). В связи с этим такой ряд (39), который не только сходится сам, но для которого и ряд абсолютных величин, называетсяабсолютно сходящимся. Если же ряд (39) сходится, но ряд (40) расходится, то говорят, что (39) есть ряд неабсолютно сходящийся.

  Из приведенного доказательства теоремы 1 вытекает справедливость и такого предложения:

     Теорема 2. Если ряд (39) сходится абсолютно, то сходятся также ряды (41) и (42), образованные положительными членами и модулями отрицательных членов этого ряда. Суммы всех трех рядов связаны соотношением

A = B - C.     (43)

     Признак сходимости Даламбера переносится в теорию рядов с членами любых знаков в следующей форме:

     Теорема 3. Пусть ряд (39) таков, что существует предел

     Если l < 1, то ряд сходится, а если l > 1, то расходится.

     Действительно, если l < 1, то по признаку Даламбера будет сходиться ряд абсолютных величин членов данного ряда, а значит, и подавно и сам ряд (39). Если же l > 1, то найдется такое m, что при n ≥ m будет

Но тогда |a_m| < |a_m+1| < |a_m+2| < ...,

и общий член ряда (39) не стремится к нулю, откуда вытекает расходимость этого ряда.

     Примеры применения этой теоремы будут приведены ниже.