43. Ряды с положительными членами

Рассмотрим числовой ряд  ,

где  для такого ряда  . Значит, последовательность частичных сумм возрастает.

Из теоремы о пределе монотонной последовательности можно сформулировать условие сходимости ряда с положительными членами.

Ряд с положительными членами всегда имеет сумму и эта суммаконечна, а ряд будет сходящимся, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в противном случае.

Теоремы сравнения положительных рядов.

 

Пусть даны два положительных ряда: 

и  .

 Теорема 1.Если выполняется неравенство:  , начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.

Доказательство:

Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что 

Для частичных сумм этих рядов выполняется 

Пусть ряд  сходится, тогда  и тем более  значит ряд  - сходится.

Пусть  расходится, тогда  , значит  и ряд  расходится.

 

Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов  ,  , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды

1)  сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда  , так как  , исследуемый ряд расходится.

2) Ряд  сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда  есть  , постоянное число.

3) Сравним этот ряд с рядом  , который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем  , следовательно, сходится.

Так как  исследуемый ряд сходится.

4) Ряд  сравним с рядом  , который является расходящимся рядом.  с учетом того, что  .

Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:

 1. 

2. 

44. Признак даламбера

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел  , тогда ряд сходится при  и расходится при .

Доказательство:

Так как  , то по определению предела для любого найдется натуральное число  такое, что при  выполняется неравенство или (2).

Пусть . Можно подобрать  так, что число  . Обозначим  . Тогда из правой части неравенства (2) получаем  или  . В силу свойств всех 3 числовых рядов можно считать, что  для всех  . Давая номеру  эти значения получим целый набор неравенств:

………..

Т.е. члены ряда  меньше соответствующих членов ряда  , который сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем  . Но тогда на основании признака сходимости сходится и ряд  . Следовательно, сходится и исходный ряд  .

Пусть  . В этом случае  . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство  или  , т.е. члены ряда с увеличением номера  возрастают, поэтому  . На основании следствия из необходимого признака этот ряд расходится.

1) Если  , то ряд  может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида  .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд . Находим  . Так как  , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.