42. Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Если ряд ∑n=1∞un сходится, то limn→∞un=0.

Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если limn→∞un=0, то ряд может сходиться. Если же limn→∞un≠0 (или же предела попросту не существует), то ряд ∑n=1∞un расходится.

Стоит обратить внимание, что равенство limn→∞un=0 вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если limn→∞un≠0, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимостичислового ряда:

Если limn→∞un≠0, то ряд ∑n=1∞un расходится.

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, un=3n2+2n−15n2+7 (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры вовторой части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.Пример №1

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞3n2+2n−15n2+7.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: un=3n2+2n−15n2+7. Найдём предел общего члена ряда:

limn→∞un=limn→∞3n2+2n−15n2+7=∣∣∞∞∣∣=limn→∞3n2n2+2nn2−1n25n2n2+7n2=limn→∞3+2n−1n25+7n2=3+0−05+0=35.

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Предел отношения двух многочленов". Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. limn→∞un=35≠0, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Теорема 14.1.5. Если ряд сходится, предел его общего члена приn®¥ равен нулю, т.е.  (14.1.4)

Доказательство. Так как ряд сходится, то  и  . Тогда  , но  , откуда 

Следствие. Если  , ряд расходится.

Пример Исследовать на сходимость ряд 

, ряд расходится.

Замечание. Следует иметь в виду, что утверждение, обратноенеобходимому признаку сходимости неверно. Признак недостаточен для сходимости ряда. Из условия  не следует, что ряд сходится.

сходится 

ряд  сходится

В качестве примера рассмотрим гармонический ряд  .

Как видим,  , т.е. выполнен необходимый признак сходимости. Покажем, что при этом гармонический ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы S_n и S_2n

 (14.5)

Предположим, гармонический ряд сходится.

В этом случае  и  и  , что противоречит равенству (14.5). Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.