39. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказать теорему о структуре его общего решения

Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

Ln(y) = ;

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

Ln(y) = ;

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20): y_он(x) = y_оо(x) + y_чн(x) = (C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x)) + y_чн(x). Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение y_чн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как и y_чн(x), и - решения неоднородного уравнения (20), то L_n(y_чн(x)) = f(x) и , следовательно, по линейности оператора L_n(y), . Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n: . Таким образом, , что и требовалось доказать. Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида ( - постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f(x) = f₁(x), f(x)=f₂(x):

40. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью

41. Числовые ряды

Определение. Пусть дана числовая последовательность  ,... Выражение вида (1)  называется числовым рядом. Числа  называются членами ряда, число  – общий член ряда. Суммы конечного числа первых членов ряда  называются частичными суммами ряда.

Так как число членов ряда бесконечно, то частные суммы образуют числовую последовательность  .

Определение. Если предел последовательности частичных сумм ряда существует и конечен, то ряд (1) называется сходящимся и сумма  ряда (1) равна пределу  :  . Если предел не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Примеры. Знакомые нами числа  и  означают, что  .

По аналогии, любое десятичное разложение действительного числа представляет собой сходящийся числовой ряд, а частичные суммы  – это приближенные значения числа с заданной точностью.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию  , члены которой являются членами ряда  . Частичная сумма этого ряда при  имеет вид  . Отсюда:  = = , т.е. ряд сходится при  и его сумма  .

При  , то  и ряд расходится.

Если  , то  и ряд расходится. При  ряд принимает вид  . Частичные суммы ряда выглядят следующим образом  . Последовательность частичных сумм ряда  предела не имеет и ряд расходится.

То есть при  ряд сходится, при  – расходится.

Рассмотрим ряд  . Зная, что  имеем  . Так как  существует и конечен, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Свойства сходящихся рядов.

Если сходится ряд (1), то сходится и каждый ряд, полученный из него прибавлением или отбрасыванием конечного числа членов.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия, то есть если ряд  сходится и его сумма равна S, и  , то сходится ряд  и его сумма равна cS.

Пусть даны два ряда  и  . Если оба ряда сходятся, а их суммы равны соответственно S и T, то сходится ряд  и его сумма равна S+T.

Если сходится ряд (1), то сходится и каждый ряд, полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

При рассмотрении рядов возникают задачи: исследовать ряд на сходимость и, если он сходится, найти его сумму. В связи с этим существуют признаки сходящихся рядов.

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим ряд  . Так как  , то  . Так как по условию ряд сходится, то обе частичные суммы стремятся к S, то есть  и  , значит  .

Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря неверно, то есть из того, что  ещё не следует, что ряд сходится.

С помощью теоремы можно доказать только расходимость ряда, то есть если  не стремится к нулю, то ряд расходится. Если же  , то о сходимости или расходимости ряда вывода сделать нельзя, надо проводить дополнительное исследование.

Пример.  – ряд расходится.