38. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно:

Если f (x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным; в противном случае оно называется неоднородным.

Принцип суперпозиции. Если и – решения однородного уравнения то

y (x) = α1 y1 (x) + α2 y2 (x)

при любых постоянных α₁ и α₂ является решением однородного уравнения.

Если и – решения неоднородного уравнения то их разность

y (x) = y1 (x) – y2 (x)

есть решение однородного уравнения

Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения

Уравнение вида

где a₁, …, a_n – некоторые постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Всякое решение однородного уравнения первого порядка

имеет вид

где C – постоянная.

Уравнение вида

где Pm (x) – многочлен степени m, μ – постоянная, имеет частное решение вида

если μ ≠ λ, и вида

если μ = λ. Здесь Q_m (x) – многочлен степени m.

В общем случае у однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеется так называемое характеристическое уравнение Корни этого уравнения – характеристические числа – являются показателями степеней слагаемых, входящих в решение. Если среди корней уравнения нет кратных, то решением однородного уравнения является функция вида где все – некоторые константы, зависящие от начальных условий. Количество слагаемых в этой функции совпадает со степенью дифференциального уравнения. Если же, скажем, – корень характеристического уравнения кратности m, то соответствующее слагаемое принимает вид а общее количество слагаемых, входящих в решение однородного дифференциального уравнения уменьшается на m – 1.

Уравнение

где ω > 0, называется уравнением гармонических колебаний. Его нетривиальным решением является функция вида

x (t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt,

где C₁, C₂ – постоянные. Эту функцию можно представить в виде

x (t) = A cos (ωt – φ),

где  

Уравнение

сводится к трем случаям:

a2 < ω2:

• Эта функция не периодическая, но ее максимумы и минимумы повторяются с периодом T = 2π/ω. Величина A e^–at называется амплитудой затухающих колебаний. Заметим, что она существенно зависит от времени.

  a2 > ω2:
  где λ1 и λ2 – постоянные:

• Функция x(t) – непериодична, это – апериодический процесс.

  a2 = ω2:

• Это – также апериодический процесс.

Построение общего решения однородной линейной системы по фундаментальной системе решений метод Эйлера

Определение 4. Общим решением линейной системы уравнений (2) называется множество всех решений этой системы.

Теорема 8. Пусть - фундаментальная система решений однородной системы уравнений (3), тогда формула

(15) где - произвольные постоянные, дает общее решение этой системы. Множество всех решений однородной системы уравнений (3) образует -мерное векторное пространство, базисом которого может служить любая фундаментальная система решений.

 

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид

, (1.1)

где - -мерный вектор, - постоянная квадратная матрица размера .

Метод Эйлера заключается в следующем. Решение системы (1.1) ищем в виде

, . (2.1)

Функция (2.1) является решением системы (1.1), если - собственное значение матрицы , а - собственный вектор этой матрицы, соответствующий числу . Если собственные значения матрицы попарно различны и - соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1.1) определяется формулой

,

где - произвольные числа. Если для кратного собственного значения матрицы имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствуют линейно независимых решений исходной системы: .

Если для собственного значения кратности имеется только линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени на , т. е. в виде

.

Чтобы найти векторы , надо подставить выражение (2.1) в систему (1). Приравняв коэффициенты в левой и правой частях системы, получим уравнения для нахождения векторов .

Если среди собственных чисел матрицы имеются комплексные числа, то указанным выше методом строится соответствующее такому собственному числу решение системы (1.1) через комплексные функции. Чтобы выразить решение через действительные функции (в случае действительной матрицы ), надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего собственному числу ( ), являются линейно независимыми решениями.