35. Линейные уравнения 2-го порядка и их свойства. Постановка задачи Коши

36. Однородные линейные уравнения и свойства их решений

37. Понятие линейной зависимости и линейной независимости функций на отрезке. Доказать теорему о построении общего решения однородного линейного уравнения на основе фундаментальной системы решений.

Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для . Если равенство для возможно только при , система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) называется линейно независимой на интервале (a, b). Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b). Примеры: 1. Функции 1, x, x², x³ линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше трёх корней, поэтому равенство = 0 для возможно только при . Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x², x³ , …, xⁿ. Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше n корней. 3. Функции линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке . 4. Система функций также линейно независима, если числа k_i (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко. Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где  – произвольные действительные числа.

Количество векторов  фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов  фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение  Примера №3  в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать   и получить: .

Координаты вектора  должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор  (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: , где  (любое вещественное число)

Придавая параметру  различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен: , то есть набор переменных  удовлетворяет каждому уравнению системы.

Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять  и из общего решения системы  получить вектор с целыми координатами:

И тогда ответ запишется в эквивалентной форме: , где  (любое вещественное число)

Оба варианта ответа правильны, однако чайникам я всё-таки рекомендую классику жанра.