26. Общее и частное решения, общий и частный интегралы уравнения. Особые решения.

Замечание 1.Решение y(x) может оказаться найденным неявно: или x = x(y)

(недифференциальное уравнение с теми же решениями).

Во всех этих случаях будем считать задачу решенной.

 Если решение содержит «невзятые» интегралы, будем говорить, что уравнение «решено в квадратурах».

 Замечание 2.Далеко не все д. у. 1-го порядка решаются, даже в квадратурах.

Определение. 1.Если в области D пл. (x, y) через каждую ее точку проходит единственная интегральная кривая y = y(x), то каждое из таких решений y(x) называется частным решением уравнения в области D. Графики частных решений не пересекаются.

2. Если получена формула

y = φ(x, C) (*)

такая, что

а) "С из некоторого E Í R функция y = φ(x, C) есть частное решение в D,

б) наоборот, каждое частное решение в D может быть получено по этой формуле выбором единственного надлежащего С, то формула (*) называется общим решением д. у. в D.

Определение.Частные решения называют также частными интегралами, а общее решение – общим интегралом д. у. Но чаще термины частный интеграл и общий интеграл применяются в случаях, когда частное и общее решения определяются неявно:

и ,

с теми же решениями, что и исходное д. у.

Замечание 3. По границе области D, для которой получено общее решение, также может проходить интегральная кривая, причем как со свойством единственности в каждой точке (такое решение будем также называть частным), так и с нарушением единственности в каждой точке (такое решение будем называть особым).

Примеры. 1. y ¹ 0.

Д. у. задает поля направлений в двух полуплоскостях:

y > 0 и y < 0.

В левой части – полный дифференциал функции

Интегральные кривые д. у. в верхней полуплоскости: верхние полуокружности, в нижней: нижние полуокружности.

– общий интеграл уравнения в каждой полуплоскости,

  и – общие решения.

2. y ³ 0.

y= 0 – решение, его график проходит по границе области. Найдем другие решения.

y(x) Þ

Интегрируя обе части уравнения: правую часть по x, а левую по y (в силу инвариантности интегральных формул), получим две первообразные функции, отличающиеся на константу:

Это общее решение в полуплоскости y > 0.

Решение y = 0 – особое. В полуплоскости y ³ 0 есть решения, не являющиеся ни частными, ни особыми.

Теорема о существовании и единственности решения д. у. .

Теорема. Если в области D плоскости (x, y) функции

непрерывны, то через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая уравнения

 Другими словами, при выполнении условий теоремы для любой точки (x₀, y₀)ÎD существует единственное решение y(x) на некотором интервале оси Ox, содержащем точку x₀, такое, что y(x₀) = y₀.

27.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: где p(x) и h(y) − непрерывные функции. Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y): Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. Обозначив , запишем уравнение в форме: Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение: где C − постоянная интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем выражение описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

28.

Однородные уравнения

Определение однородного дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы: где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка. Определение однородной функции Функция P(x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение: Решение однородных дифференциальных уравнений Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

соответствует однородное дифференциальное уравнение

.

Пусть линейно независимые функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения .

Покажем, что , где - произвольно заданные постоянные, является общим решением этого уравнения. Для этого необходимо убедиться в том, что при любых начальных условиях можно выбрать произвольные постоянные так, чтобы функция была частным решением дифференциального уравнения с этими начальными условиями.

Пусть начальные условия имеют вид

 

.

 Составим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных .

 

 Эта система является системой линейных алгебраических уравнений.

Определитель данной системы представляет собой определитель Вронского

.

Этот определитель отличен от нуля, так как функции линейно независимые. Решение системы (набор значений произвольных постоянных ) можно получить с помощью формул Крамера. Система имеет единственное решение.

Следовательно, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка можно найти как линейную комбинацию n линейно независимых его частных решений.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 7.4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е.

,

где - линейно независимые решения однородного уравнения ,

- частное решение неоднородного уравнения .

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y' = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v - неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

y' = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y' = u'v + uv'

3. Подставить y и y' в данное уравнение: u'v + uv' = f(x)uv + g(x) или u'v + uv' + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример типового расчета:

Найти частное решение уравнения y' = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y' = u'v + uv'

Подставляя y и y' в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ: