12. Зада́ча Коши́ —

одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений . Точка задаёт начальные условия.

Различные постановки задачи Коши

• Обычное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной

• Система ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система -го порядка)

• ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теоремы о разрешимости задачи Коши для оду

Пусть в области рассматривается задача Коши:

где . Пусть правая часть является непрерывной функцией в . В этих предположениях имеет место теорема Пеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши: Пусть a>0 и b>0 таковы, что замкнутый прямоугольник

принадлежит области D, тогда на отрезке , где , , существует решение задачи Коши.

Указанный отрезок называется отрезком Пеано. Заметим, что, локальный характер теоремы Пеано не зависит от гладкости правой части. Например, для и для решение существует лишь на интервале . Также отметим, что без дополнительных предположений относительно гладкости правой части, нельзя гарантировать единственность решения задачи Коши. Например, для возможно более одного решения.

Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, если существует постоянная L такая, что

для всех , i=1,2.

Пусть правая часть f(x,y) дополнительно удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, тогда задача Коши не может иметь в D более одного решения.

Также отметим, что хотя эта теорема имеет глобальный характер, тем не менее она не устанавливает существование глобального решения.

Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию

где A>0 - константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D. В частности, из этой теоремы следует, что задача Коши для линейных уравнений (с непрерывными по x коэффициентами) имеет глобальное решение.

Теорема 16.1 (теорема существования и единственности решения). Если в уравнении

функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D:

(16.5)

и удовлетворяет в D условию Липшица:

| f(x, y₁) – f(x, y₂) | ≤ N | y₁ – y₂ |, (16.6)

где N – постоянная, то существует единственное решение ,уравнения (16.2), удовлетворяющее условию (16.3) , где

в D .

 

Замечание 1. Нельзя утверждать, что искомое решение будет существовать при , так как интегральная кривая может выйти из прямоугольника (16.5), и тогда решение может быть не определено.

Замечание 2. Условие Липшица (16.6) можно заменить более сильным требованием в D. Тогда по теореме Лагранжа , где . Таким образом, и . Поэтому .

 Доказательство теоремы 16.1.

Заменим уравнение (16.2) с начальным условием (16.3) эквивалентным интегральным уравнением . (16.7)

Легко проверить, что функция, обращающая в тождество уравнение (16.2), будет решением и уравнения (16.7).

Построим ломаную Эйлера у = у_п(х), исходящую из точки (х₀ ,у₀) с шагом на отрезке [x₀ , x₀ + H] (аналогично можно доказать существование решения на [x₀ – H, x₀]). Такая ломаная не может выйти за пределы D, так как угловые коэффициенты каждого ее звена по модулю меньше М. Теперь докажем последовательно три утверждения:

1) Последовательность у = у_п(х) равномерно сходится.

2) Функция является решением интегрального уравнения (16.7).

3) Решение уравнения (16.7) единственно.

 

Доказательство 1). По определению ломаной Эйлера

при , или . (16.8)

Обозначим , тогда в силу равномерной непрерывности f(x) в D (16.9)

при , где при , так как , а и при . Интегрируя (16.8) по х в пределах от х₀ до х и учитывая, что , получим:

. (16.10)

Так как п – любое целое положительное число, то для любого m > 0

, откуда

.

Тогда из (16.9) и условия Липшица следует, что

. Следовательно,

, откуда

при , то есть последовательность непрерывных функций у_п(х) равномерно сходится при к непрерывной функции . Итак, утверждение 1) доказано.

Доказательство 2). Перейдем в (16.10) к пределу при :

. (16.11)

В силу равномерной сходимости у_п(х) к и равномерной непрерывности f(x,y) в D последовательность f(x,y_n(x)) равномерно сходится к f(x, ). Действительно, при , что выполняется при .

Следовательно, возможен переход к пределу под знаком интеграла. Учитывая, что , где при , получим из (16.11):

,

то есть удовлетворяет уравнению (16.7). Утверждение 2) доказано.

Доказательство 3). Предположим, что существуют два различных решения уравнения (16.7) у₁(х) и у₂(х), то есть | y₁(x) – y₂(x) | ≠ 0. Тогда, подставляя эти функции в (16.7) и вычитая полученные равенства друг из друга, получим:

, откуда

| y₁(x) – y₂(x)| =

≤ .Применим к этому неравенству условие Липшица: | y₁(x) – y₂(x)|≤ N | y₁(x) – y₂(x)|

=NH | y₁(x) – y₂(x)|. Если | y₁(x) – y₂(x)| ≠ 0, то полученное равенство: | y₁(x) – y₂(x)| ≤ NH | y₁(x) – y₂(x)| противоречиво, так как по условию теоремы . Следовательно, | y₁(x) – y₂(x)| = 0, то есть у₁(х) ≡ у₂(х).

Обобщенная теорема Коши — Пикара. Пусть выполнены условия теоремы Коши — Пикара со следующими двумя изменениями:

а) вместо отрезка [a, b] — произвольный промежуток I;

б) в условии Липшица вместо константы L — непрерывная функция M(t).

Утверждается, что:

1) задача Коши (НС), (НУ) имеет на I единственное решение j;

2) последовательные приближения сходятся на I к j, причем

||jk(t) – j(t)|| Ј L2(t) ck(t) k! ,

(1)

где

L2(t) = L1(t)ec(t), L1(t) = ||j0 – j1||[t0, t], c(t) = L(t)|t – t0|,

(2)

L(t) = ||M||[t0, t],  [t0, t] = м н о [t0, t] при t і t0, [t, t0] при t < t0,

(3)

||x||[t0, t] = max{||x(s)||: s О [t0, t]}.

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Если промежуток I заменить на любой отрезок [t₀, t] М I, то будут выполнены все условия теоремы Коши — Пикара с константой в условии Липшица, равной L(t) — см. (3), поскольку, очевидно, L(t) справа от t₀ неубывает, а слева — невозрастает. Рассмотрим на всем промежутке I произвольное непрерывное начальное приближение j₀ и по известной рекуррентной формуле построим соответствующие последовательные приближения j_k. Тогда последовательность {j_k(t)} сходится в любой точке t О I, т. к. она сходится на любом отрезке [t₀, t] М I. Обозначим ее предел через j(t). Функция j(t) является решением задачи (НС), (НУ) на I, т. к. это справедливо для любого отрезка [t₀, t] М I. Решение j единственно на I, т. к. оно единственно на любом [t₀, t] М I. Наконец, для s О [t₀, t] М I и k і 0 справедливо неравенство

||jk(s) – j(s)|| Ј L2(t) ck(t) k!

(см. (2) – (4)). Положив s = t, получаем (1).

Локальная теорема Коши — Пикара. Заменим в теореме Коши — Пикара из условие (1) на

f: [t0 – h, t0 + h]×B(x0, r) ® Rn,

(1')

где h, r — некоторые положительные числа, B(x₀, r) = {x О Rⁿ: ||x – x₀|| Ј r}. Соответственно условие Липшица будем предполагать выполненным при t О [t₀ – h, t₀ + h], x, y О B(x₀, r).

Утверждается, что:

1) задача Коши имеет единственное решение j на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁], где

h1 = min м н о h, r f0 ь э ю ,   f0 = max t О [t0 – h, t0 + h], x О B(x0, r) ||f(t, x)||;

(5)

2) на этом отрезке j есть предел последовательных приближений j_k, отвечающих любому непрерывному начальному приближению

j0: [t0 – h1, t0 + h1] ® B(x0, r),

(6)

причем справедлива оценка погрешности вида (8) из п. 2.3.3.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем индукцией по k, что значения j_k(t) при t О [t₀ – h₁, t₀ + h₁] лежат в B(x₀, r). Действительно, для k = 0 это верно по условию (6), а переход от k к k + 1 вытекает из неравенств

||jk+1 – x0|| Ј к к т t t0 ||f[s, jk(s)] || ds к к Ј f0h1 Ј r.

Итак, все последовательные приближения определены на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁], поэтому справедливы все рассуждения из доказательства теоремы Коши — Пикара.

Формулировка теоремы Пеано. Пусть выполнено условие (1') и функция f(t, x) непрерывна по совокупности переменных. Тогда задача (НС), (НУ) имеет на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁] (см. (5)) хотя бы одно решение.

Доказательство теоремы Пеано можно найти во многих учебниках, а также в очерке О1 во второй части книги. Отметим, что в условиях теоремы Пеано решение может быть не единственным (см. пример в п. 1.2.8) и последовательные приближения могут не сходиться не сходиться).

Теорема Коши — Пикара для уравнения высшего порядка. Рассмотрим задачу Коши

x(m) = F(t, J(m–1)x),

(НСm)

J(m–1)x(t0) = y0 О R|m|.

(НУm)

Пусть выполнены условия:

F: [a, b] × R|m| ® Rn;

F(t, y) непрерывно по t при любом фиксированном y;

F(t, y) удовлетворяет условию Липшица по y:

||F(t, y) – F(t, y)|| Ј L·||y – y||    (t О [a, b]; y, y О R|m|).

Утверждается, что тогда задача (НСm), (НУm) имеет на отрезке [a, b] единственное решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Замена

J(m–1)x = y

(7)

сводит (НСm), (НУm) к задаче Коши для нормальной системы

yў = f(t, y),

(8)

y(t0) = y0

(9)

(см. п. 2.1.1). Мы будем считать, что координаты функции f пронумерованы так же, как координаты y. Тогда

fik(t, y) = м н о yik+1, если k Ј mi – 2, Fi(t, y), если k = mi – 1.

Нетрудно видеть, что условия  теоремы Коши — Пикара для (8), (9) выполнены.

Заметим, что решение задачи (НСm), (НУm) можно получить методом последовательных приближений для (8), (9) с последующим возвратом к x по (7).

25.