Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

• явную зависимость функции от переменной;

Решение дифференциального уравнения – это функция y = u(x), которая определена, n раз дифференцируема, и .

• неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений;

Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

• зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

• решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C₁, C₂, C₃, ... C_n. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида , зависящее от n произвольных постоянных.

Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, которое имеет неявный вид

Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C₁, C₂, C₃, ... , C_n.

Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁, C₂, C₃, ... , C_n.

Геометрический смысл аргумента и модуля производной.

 Функция f(z) аналитична в точке G. Ее производная не равна нулю. Далее считаем, что опытом кривой на плоскости z будет кривая в плоскости w.

  Пусть точки и плоскости z соответствует значению координат и , а точкам и в плоскости w соответствуют координаты и . Тогда значения и , следовательно

Тогда и , . и займут положение касательных и предел

Определяется по (1).

Из уравнения (1) следует, что аргумент производной функции в точке представляет собой угол поворота касательной к кривой в точке при отображении этой кривой на плоскости w с помощью . В этом геометрический смысл производной

Если рассматривать кривую , проходящую через точку M, то запишем равенство

. И, принимая во внимание равенство (1), получим

Таким образом, если на плоскости z выбрать две кривые и и отобразить их на плоскости w, то получим кривые и . При отображении с помощью аналитической функции f(z) углы между кривыми сохраняются при условии, что .

Геометрический смысл модуля производной.

Рассмотрим модуль отношения . По свойству имеем отношение длин секущих:

  

Устремим . В результате получаем:

(3) 

Из выражения (3) видно, что модуль производной характеризует растяжение или сжатие бесконечно малых векторов, начало которых в точке , если есть отображение . Это растяжение или сжатие не зависит от напряжения бесконечно малых векторов. Из геометрических свойств модуля и производной следует, что отображение с помощью аналитических функций в окрестности данной точки будет подобным.