1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

            (38)

При a = b по определению принимается

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

                   (39)

Пусть функция f определена на отрезке .

Набор точек таких, что называется разбиением отрезка и обозначается символом Т.

Диаметром разбиения Т называется число , где . Заметим, что (k=1,2,…,n) и .

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку. Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство . Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо [x_i-1 , x_i], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу.

2. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральной суммой функции f на , соответствующей разбиению Т и точкам x₁, x₂, …, x_n, называется число .

Определение 1.Определенным интегралом функции f на отрезке называется предел интегральных сумм функции f на при стремлении к нулю диаметра разбиения, если предел существует, не зависит от способа разбиения отрезка , не зависит от выбора точек .

Обозначение: . При этом функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, числа a и b - пределами интегрирования (a - нижний предел, b - верхний предел).

Определение 2. Если существует определенный интеграл функции f на отрезке , то функция f называется интегрируемой на отрезке .

Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке , то f интегрируема на нем.

3. Свойства определенного интеграла

• Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на отрезке [a,b]. Разобьем данный отрезок на n частичных интервалов. В каждом интервале выберем произвольную точку ξi и составим интегральную сумму ∑i=1nf(ξi)Δxi, где Δxi − длина i-го интервала. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной длины частичного интервала к нулю. ∫abf(x)dx=limn→∞maxΔxi→0∑i=1nf(ξi)Δxi,гдеΔxi=xi−xi−1,xi−1≤ξi≤xi.

• 

• Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования: ∫ab1dx=b−a

• Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx

• Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций: ∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx

• Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций: ∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx

• Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю: ∫aaf(x)dx=0

• При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный: ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx

• Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a,c] и [c,b]: ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

• Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю: ∫abf(x)dx≥0еслиf(x)≥0на[a,b].

• Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю: ∫abf(x)dx≤0еслиf(x)≤0на[a,b].

• Формула Ньютона-Лейбница  ∫abf(x)dx=F(x)|ba=F(b)−F(a),еслиF′(x)=f(x).

• Метод подстановки для определенного интеграла Если  x=g(t),  то  ∫abf(x)dx=∫cdf(g(t))g′(t)dt,  где  c=g−1(a), d=g−1(b).

• Интегрирование по частям   ∫abudv=(uv)|ba−∫abvdu

• Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций   ∫abf(x)dx=b−a2n[f(x0)+f(xn)+2∑i=1n−1f(xi)]

• 

• Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (метод парабол)   ∫abf(x)dx=b−a3n[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)+…+4f(xn−1)+f(xn)], где  xi=a+b−ani, i=0,1,2,…,n.

• 

•  Площадь криволинейной трапеции   S=∫abf(x)dx=F(b)−F(a),   где  F′(x)=f(x).

• 

•  Площадь между двумя кривыми   S=∫ab[f(x)−g(x)]dx=F(b)−G(b)−F(a)+G(a),   где  F′(x)=f(x),  G′(x)=g(x).

• 

• Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

1. 

Рис.1		Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x).

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.