45. Выборочное среднее.

Выборочной средней - наз. среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x1,x2,x3,..,xn признака выборки объема n различны, то

Если значения x1,x2,x3,..,xn имеют частоты n1,n2,…,nk, то

46. Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной дисперсией - наз. среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения x1,x2,x3,..,xn признака выборки объема n различны, то

Если значения x1,x2,x3,..,xn имеют частоты n1,n2,…,nk, то

Выборочное среднее квадратическое отклонение-наз. квадратный корень из выборочной дисперсии.

№47. Метод наименьших квадратов

При обработке статистических данных часто приходится решать задачу о нахождении зависимости одной СВ от другой, кот. Может быть представлена в виде ф-ции y = f(x). В результате эксперимента может быть получено n экспериментальных пар чисел (x_i,y_i), i = 1,n. На плоскости можно построить корреляционное поле. Производимые измерения связаны с ошибками случайного характера. На графике имеется разброс относительно общей закономерности. Задача исследований состоит в обработке данных, при которых по возм-ти более точно можно будет определить зависимость x от y. Часто бывает, что вид зависимости известен из опыта или каких-либо физических соображений. Остается определить параметры, входящие в зависимость. Для определения этих параметров применяются различные методы, одним из них является метод наименьш. квадратов. Пусть в результате опыта получено n точек. Вид уравнения регрессии зависит от n параметров y = f(x,a₁,a₂,…,a_n). Зависисмость y(x) является аналитической и она может не совпадать с эмпирическими данными, что означает, что Δ_i = y_{i ­} - f(x_i,a₁,a₂,…,a_n) ≠ 0, Требуется определить параметры функции регрессии так, чтобы сумма квадратов разности B_i была наименьшей: .Функция z зависит от n параметров, которые нужно определять. Они находятся из условия

, составляется система, находим a₁,a₂,…,a_n .

№48.

Критерий согласия Пирсона.

Правила: Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о том, что совокупность Х распределена нормально требуется:

1. Вычислить Х_В и σ_В;

2. Вычислить теоретические частоты , где и , где n – объем выборки, h – шаг группировки

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты:

   1. Составить расчетную таблицу, по которой наблюдаемое значение критерия

   2. По таблице критических точек распределения χ² по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k, S – число групп выборки, k=S-3, находят χ²_{критич.}

4. Если χ²_критич > χ²_набл, то нет оснований отвергнуть гипотезу, а если наоборот, то гипотеза отвергается.

№49. Критерий Колмагорова. (λ-критерий)

В критерии Колмагорова сравниваются эмпирические и теоретические функции распределения. λ-критерий предполагает, что значение параметров гипотетической функции распределения известны. λ-критерий применяется при уровне значимости от 0.1 до 0.2. Проверку гипотезы H₀ проводят по следующей схеме:

1) Составляют из результатов наблюдения интервальный статистический ряд;

2) Находят эмпирическую функцию распределения ;

3) Находят для каждого значения x величину ;

4) Определяют выборочное значение статистики Колмагорова . Колмагоров показал, что выборочная статистика имеет функцию распределения такого вида: . Функция Колмагорова имеет вид . Это распределение называется распределением Колмагорова.

Зададим уровень значимости α из соотношения . Определим λ_α квантели распределения Колмагорова из таблицы

α	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
λα	1,073	1,224	1,358	1,52	1,627	1,950

Если , то H₀ отклоняется, если - нет оснований отклонить гипотезу.

№50 и №51. Уравнение (прямой) регрессии.

Пусть по корреляционному полю или по физическому смыслу определен вид функции регрессии y = ax+b , a, b – неизвестны. Определим их с помощью метода наименьших квадратов. Составим разность:

Решая систему получим:

Разделив кажд. ур-е на n получим некотор. цел. зн-я:

Тогда уравнение регрессии y на x примет вид:

Аналогич. можно получ. ур-е регрессии x на y:

Ур-я (1) и (2) проходят через точку , но не совпадают. Совпадают при r_В = 1.

№53 и №54. Коэффициенты линейной регрессии:

Из нахождения коэффициентов a и b для уравнения регрессии y на x:

; - корреляционный момент;

, где r_xy – выборочный коэффициент корреляции,

, где K_xy – корреляционный момент, он же центральный момент порядка 1+1 ν₁₁