41. Доверительный интервал для математического ожидания при известном

Пусть количественный Х генеральной совокупности признак распределен нормально , причем среднее квадратичное отклонение этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней . Найдем доверительные интервалы покрывающие параметр с точностью .

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину и выборочные значения признака x₁,x₂,…,x_n - как одинаково распределенные независимые случайные величины X₁,X₂,…,X_n.

Если случайная величины Х распределена нормальна , то выборочная средняя ,

найденная по независимым наблюдениям , также распределена нормально. Параметры распределения таковы

М( )= , ( )= /

Должно выполняться соотношение

Пользуясь формулой вычисления вероятности заданного отклонения

заменив Х на и на ( )= / получаем

где

Из последнего равенства получаем можно записать

Приняв во внимание ,что вероятность Р задана и ровна , окончательно имеем

Смысл полученного такой : с точностью можно утверждать , что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с точностью оценки

42 Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестном

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально , причем среднее квадратичное отклонение этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.

Оказывается , что по данным выборки можно построить случайную величину

, которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы; здесь - выборочная средняя ,S- «исправленное» среднее квадратическое отклонение, n- объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента

Мы видим , что распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров и ; эта особенность является его большим достоинством . Поскольку S(t,n) –четная функция от t , вероятность осуществления неравенства определяется так

Заменив неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим

Пользуясь распределением Стьюдента , мы нашли доверительный интервал

, покрывающий неизвестный параметр с надежностью .

43. Распределение Стьюдента.

Пусть Z- нормальная случайная величина , причем М(Z)=0, (Z)=1, а V- независимая от Z величина , которая распределена по закону с степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение , которое называют t-распределением или распределением Стьюдента с степенями свободы.

Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины , распределенной по закону «хи квадрат» с степенями свободы , деленной на , распределено по закону Стьюдента с степенями свободы.

44 Доверительный интервал для

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Нужно найти доверительные интервалы , покрывающие параметр , с точностью .

Нам надо ,чтобы выполнялось соотношение

или

Для того , чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство

в равносильное неравенство

положив Получили искомый доверит. интервал.