3.Теоремы сложения и умножения вероятностей независимых событий.

События А и В наз. независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность появления одного из двух независимых (несовместных) событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В);

Д-во: Пусть m1 и m2 – число подходов, благоприятствующих событиям А и В соответственно, тогда Р(А+В)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=Р(А)+Р(В).Т.Д.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=P(А₁)+P(А₂)+…+ P(А_n);

Вероятность появления хотя бы одного из событий: А₁,А₂,…, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Р(А)= 1-q₁·q₂·…·q_n; (q = 1-p)

Д-во: События p и q – противоположны, т.е. сумма их вероятностей равна 1. Р(А) + q(А)=1, следовательно Р(А)=1-q(А).Т.Д.

Замечание. Если события А_i имеют одинаковую вероятность Р(А₁)=Р(А₂)=Р(А_n), то Р(А)=1-qⁿ ;

Теорема умножения вероятностей независимых событий: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB)=P(A) ·P(B);

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁,A_2….A_n)=P(A₁) ·P(A₂) ·..·P(A_n);

4.Теоремы сложения и умножения вероятностей совместных событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) ;

Д-во: Рассм. События AB, , – несовместные. По теореме сложения несовместных событий: Р(А)=Р(А )+Р(АВ), Р(В)=Р( )+Р(АВ), Р(А )=Р(А)-Р(АВ), Р( )=Р(В)-Р(АВ),

Р(А+В)=Р(АВ)+(Р(А)-Р(АВ))+(Р(В)-Р(АВ))=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).Т.Д.

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)+P(ABC).

Пр.: Вероятность попадания пистолетов по мишеням 0,6 и 0,5. Найти вероятность хотя бы одного попадания. Реш.: Пусть А – попадание из 1-го, В – попадание из 2-го, тогда Р(А+В)=0,6+0,5-0,3=0,8.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А) ·Р_А(В).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

P(A₁,A_2….A_n)=P(A₁) ·P_А1(A₂) ·..·P_{А1А2…Аn-1}(A_n);

5.Формула полной вероятности

Пусть события В₁, В₂, … ,В_n попарно несовместны и образуют полную группу событий. Их условные вероятности будут обозначены Р_Вi(А)

Теорема: Вероятность появления события А_i ,кот. может насупить при условии наступления одного из несовместных событий H_i образующих полную группу вычисляется по формуле:

Р(А) = ∑Р(В_i)·Р_Вi(А); (1)

Д-во: Применим теорему сложения несовместных событий: Р(А)=∑Р(В_iА) (2), и теорему умножения вероятностей зависимых событий: Р(В_iА)=Р(В_i)·Р_Вi(А) (3). Подставим (3) в (2), получим (1).Т.Д.

Пр.: Есть 2 ящика деталей, вероятность того, что деталь, взятая из 1-го ящика стандартна – 0,5, из 2-го – 0,7. Найти вероятность того, что взятая из любого ящика деталь стандартна. Реш.: Пусть А– деталь стандартна, В₁– деталь взята из 1-го ящика, В₂– деталь взята из 2-го ящика, Р_В1(А)=0,5, Р_В2(А)=0,7, Р(В₁)=Р(В₂)=1/2, тогда Р(А)=∑Р(В_i) ·P_Bi(А)=0,5·0,5+0,7·0,5=0,6.