Объект

Воздействия

Средство

Подсистема

Система

Надсистема

Рис.2. Отношения между системой, надсистемой и подсистемой.

Важное значение в рамках системно-компонентного аспекта имеет позиция исследователя (субъекта), который определяет масштаб объекта, именуемого на номинальном уровне, как система (см. рис.2), окружающими компонентами являются:

Система ^(N)S (номинальная, N - уровня) - любой объект, которым заинтересовался исследователь (субъект).

Подсистемой ^(N-1)S называют систему (N-1) уровня, которая является правильной частью (элементом) номинальной системы.

Надсистемой ^(N+1)S является система (N+1) уровня, по отношению к которой номинальная система является подсистемой.

Исследователь (субъект) - подсистема социальной системы, которая обладает свойством сознательной, целенаправленной, свободной, ценностно-избирательной, деятельности [5].

Элемент системы a_i – i-подсистема, которая субъективно (т.е. при конкретном рассмотрении исследователем) не имеет подсистем.

Номинальная система ^(N)S (N - уровня) – совокупность элементов a_i нацеленных на выполнение поставленной задачи:

^(N)S = (a₁,…a_i,…a_n)

Элемент системы a_i обладает свойствами A, имеющими отличительные признаки и существенное значение, с точки зрения исследователя, для достижения поставленной перед системой цели.

Свойство, как характерная особенность объекта должна быть замечена и количественно оценена исследователем.

Исследователь (субъект) - подсистема социальной системы, которая обладает свойством сознательной, целенаправленной, свободной, ценностно-избирательной, деятельности [255].

Показатель свойства - определенная мера, устанавливаемая исследователем (субъектом) для оценки исследуемого свойства объекта. Свойство объекта является реальностью, а показатель - субъективной мерой этой реальности.

Исследователь (субъект) - подсистема социальной системы, которая обладает свойством сознательной, целенаправленной, свободной, ценностно-избирательной, деятельности [255,262].

Исследователь (субъект) - подсистема социальной системы, которая обладает свойством сознательной, целенаправленной, свободной, ценностно-избирательной, деятельности [255,262].

Показатель свойства - определенная мера, устанавливаемая исследователем (субъектом) для оценки исследуемого свойства объекта. Свойство объекта является реальностью, а показатель - субъективной мерой этой реальности.

Параметр (показатель свойства, характеристика) α_i элемента системы a_i - выражение свойства элемента через единицы измерения, принятые в определенной стандартной системе единиц (мер).

Формализованно свойства элементов системы [27, 141, 255] описываются как упорядоченные пары A =  α_i, A , где:

α_i - имя (название) свойства (параметра),

A - множество различных возможных проявлений свойства (значений параметров) { ⁰α_i, ¹α_i, …^kα_i.}

Элемент системы a_i – i-подсистема, которая субъективно (т.е. при конкретном рассмотрении исследователем) не имеет подсистем.

Номинальная система ^(N)S (N - уровня) – совокупность элементов a_i нацеленных на выполнение поставленной задачи:

^(N)S = A = Α (a₁,…a_i,…a_n)

Элемент системы a_i обладает свойствами A, имеющими отличительные признаки и существенное значение, с точки зрения исследователя, для достижения поставленной перед системой цели.

Среда (окружение) системы ^(N)Q - подсистема, совокупность элементов b_j, которая является дополнением системы в (субъективно) выбранной надсистеме:

^(N)Q = (b₁,…b_j,…b_m)

Формализованно свойства элементов окружения системы [3] описываются как упорядоченные пары

B =  β_j, B , где:

β_j - имя (название) свойства (параметра),

Β - множество различных возможных проявлений свойства (значений параметров окружения) { ¹β₁,…^vβ_j,…^hβ_m }

В рамках проектной эффективности при рассмотрении системы в условиях операции разработан типовой состав элементов системы и окружения [26]. Описание и адаптация типовых элементов к современных условия представлены в описании типовых схем операций.

Системно-структурный аспект предполагает изучение внутренних связей и взаимодействия элементов системы между собой в смысле структуры и в смысле отношений.

Структура - это внутренняя форма системы, определяющая способ взаимодействия составляющих систему компонентов. Она зависит от параметров элементов системы, связывает и преобразует их, придавая целостность системе, и обусловливает возникновение новых качеств, не присущих ни одному из элементов системы. Определение связей элементов системы и их изучение являются одним из центральных вопросов проектной эффективности, так как на этой основе определяются технические решения по системной увязке элементов [26].

Структурные свойства систем определяются характером, динамикой и устойчивостью взаимосвязей между элементами. Различают структуры [36]:

-детерминированные, характеризующиеся либо неизменными взаимосвязями, либо меняющимися по некоторому закону;

-стохастические (вероятностные), если взаимосвязи описываются законами теории вероятностей;

-хаотические, если взаимосвязи элементов непредсказуемы.

Используя формальное определение понятия отношения в терминах теории множеств, в общем случае, отношением между элементами a_i и a_n будем называть подмножество R декартового произведения (A₁×A_i×A_n), где A_i - базовое множество значений некоторого свойства ^uα_i.

Общий вид формулы отношения R может быть следующим:

Имя_отношения (аргумент, …, аргумент)

Формальная запись бинарных отношений между эдементами имеет вид: (a_i,a_n)R, a_iRa_n, R(a_i,a_n) или a_i*a_n, где a_i и a_n любые элементы, взятые их множества Α. Атрибутами отношения R являются [36]:

- свойство, по которому определяется отношение рассматриваемых объектов;

-размерность, или, другими словами, мера данного свойства, определяющая соответствующую единицу измерения;

-область значений, представляющая собой базовое множество данного свойства;

-имя отношения, которое является символическим ярлыком его сущности, как концентрированного выражения свойств отношения;

-время, к которому относится отношение (настоящее, прошедшее или будущее);

-формула, представляющая собой конструкцию из символов определенного языка, отражающую сущность отношения;

-местность, по количеству аргументов отношение может быть одноместным, двухместным и так далее, вообще говоря, n-местным;

Всякое отношение характеризует определенное состояние, или взаимодействие объектов.

В общем случае отношения описывают на некотором формализованном языке определенные связи между естественными или абстрактными объектами. В то же время сами отношения по определению являются формализованными символьными объектами (формулами), обладающими вполне определенными логическими свойствами.

Особое значение для исследования системных свойств имеет анализ структуры системы и ее устойчивости. Поскольку проектная эффективность связана непосредственно с этапом проектирования сложной системы, то актуальным явялется проблема науки и искусства проектирования.

В плоскости науки в проектировании развивается аппарат формализации, который достигает своей высшей точки в системном проектировании (оптимизации параметров сложной системы, исходя из оценки эффективности и затрат в рамках задачи математического программирования). Трудноформализуемой областью системного проектирования как раз является формализация и оптимизиция структуры сложной системы.

И эта область пересекается с творческим процессом – искусством проектирования. Именно взаимосвязи элементов сложной системы в случае удачи или успеха исследователя-творца наделяют систему признаками эмерджентности, без которых конгломерат технических, информационных и компонентов не становится элементами сложной системы.

При системном проектировании изменения параметров структуры не сразу и не автоматически следуют за изменениями проектных параметров элементов системы, а в определенных границах определенная структура остается постоянной, сохраняя тем самым систему в целом.

Существенное изменение количественных значений проектных параметров (изменений внутри системы) ведет к последующему изменению ее структуры. Структура меняется скачком по мере накопления количества в каждом из компонентов системы. Модернизация элементов системы, как правило, не меняет ее структуры. В то же время, глубокая модернизация всех элементов с появлением в некоторых из них новых возможностей может привести к целесообразности пересмотра структуры системы.

Системно-функциональный аспект предусматривает изучение действий (активностей) и функциональных зависимостей между элементами системы. На начальном этапе становления проектной эффективности методический подход не предполагал непосредственного описания всей совокупности действий в схеме операции в связи с их разнообразием и большим числом всевозможных элементов СТС, выполняющих эти действия. Было признано целесообразным выделять типовые составляющие, для каждой из которых разрабатывать типовые математические модели и на основе полученных моделей формировать модель операции. При этом индивидуальные особенности проектируемых элементов сложных систем учитывались конкретной последовательностью типовых действии, представляемых в схеме операции.

Дальнейшая формализация действий осуществлялась в рамках системно-коммуникативного аспекта вместе с формализацией противодействий.

Функции системы представлялись как интегрированный результат функционирования образующих систему компонентов. Функциональная зависимость имеет место между компонентами данной системы, между компонентами и системой в целом, между системой в целом и другой системой, в состав которой она входит.

В зависимости от характера взаимодействия с другими системами укрупненно функции систем в целом распределялись в порядке возрастания следующим образом:

1) пассивное существование (материал для других систем),

2) обслуживание систем более высокого порядка,

3) противостояние другим системам,

4) поглощение других систем,

5) преобразование других систем.

Функции компонентов по отношению к системе должны носить целесообразный характер и согласовываться во времени и пространстве, формируя систему как единое целое. Отношения иерархии при функциональном описании компонентов системы сводились обычно к функциям координации и субординации: координация - согласование функций компонентов системы по горизонтали, субординация - согласование функций компонентов по вертикали.

Субординация определяет подчиненность функций одних компонентов другим, указывает специфическое место и неодинаковое значение каждого из компонентов в осуществлении функций системы.

Системно-интегративный аспект предусматривает изучение системообразующих механизмов, присущих данной системе. Этот аспект характеризует факторы системности и свойства, обеспечивающие сохранение качественной специфики системы, ее функционирование и развитие. Здесь выясняются новые качества, присущие системе в целом и не присущие каждому компоненту в отдельности. Для технических систем это связано с выявлением новых дополнительных возможностей системы, получаемых за счет правильного объединения отдельных ее элементов.

Трудноформализуемый творческий аспект при выборе оптимальной структуры (например, конструктивно-компоновочной схемы для летательного аппарата) представляется в виде подмножества проектных параметров A_стр, описывающих творчески найденную структуру сложной системы:

A_стр.= {^uα_n+1,… ^uα_n+k.}, где:

{^uα_n+1,… ^uα_n+k.} - проектные параметры, описывающие структуру

Расширяющиеся возможности компьютерных технологий и разработки в области искусственного интеллекта (инженерии знаний) подталкивают к разработке процедур структурной оптимизации. Например, представленный выше формализм отношений

M

W/G = opt ∑ w/g(a_iR ^w/g a_n)_m, m = (1,… M), M = (a₁×a_i×a_n ), где:

1

W/G – общий показатель эмерджетности (прирост эффективности или экономия затрат) за счет подбора «оптимальных отношений» между элементами системы;

w/g(a_iR ^w/g a_n)_m - прирост показателя эмерджетности w/g_m для m-отношения (a_iR ^w/g a_n)_m между a_i и a_n элементами системы.

Представленные четыре аспекта системного подхода в совокупности характеризуют внутреннее изучение системы.

Системно-коммуникационный аспект предусматривает изучение системы во взаимодействии с окружающей средой и выделение возмущающих факторов. Всякая система существует' в определенной взаимосвязи с другими системами. Эти внешние по отношению к данной системе образования, с которыми система связана сетью коммуникаций, составляют ее среду или окружение.

Во-вторых, в составе сложных систем кроме значительного количества элементов присутствуют многочисленные и разные по типу (неоднородные) связи между элементами. Основными типами считаются следующие виды связей: структурные (в том числе иерархические), функциональные, каузальные (причинно-следственные, отношения истинности), информационные, пространственно-временные.

По этому признаку будем отличать сложные системы от больших систем, представляющих совокупность однородных элементов, объединенных связью одного типа.

Формализация взаимодействия системы с окружающей средой связана выделением активностей: действий элементов системы и противодействий элементов окружения.

В общем виде все активности (действия) могут быть условно разделены ня элементарные действия ∆Act_t и противодействия ∆Kon_t выполняемые на t-й интервале развития операции. Результат действий системы по объекту, оказывающему противодействие (и наоборот) характеризуется вероятностью определенного события (воздействия) P_t и результатом воздействия (формально описываемом переводом системы и/или окружения в состоянием S_d ).

P_t (S_d) = P [ ∆Act_t , ∆Kon_t (∆Act_t) {U}_t ], где:

{U}_t - совокупность параметров, характеризующих условия на t-й интервале развития операции.

Все действия системы в период выполнения операции Т_оп отражают циклограмму функционирования системы Act_t(Т_оп), которая представляет собой упорядоченную совокупность элементарных действий:

Act_t(Т_оп), =  ∆Act_t

В качестве принципов выделения элементарных действий рассматривались функциональные или методические их отличия, однообразие алгоритма выполнения каждого действия на всем рассматриваемом интервале, возможность описания простой математической моделью и т. д.

В рамках проектной эффективности проблема стандартизации активностей не ставилась. Рассматривалась разработка типовых моделей элементарных взаимодействий ∆Kon_t (∆Act_t), а также подходов к их объединению в модели операции, возможность использования методического задела на основе заблаговременной разработки моделей элементарных действий для сокращения сроков разработки моделей, дифференцированная оценка вклада каждого элементарного действия в общую операцию, возможность учета всех действий и всех каналов противодействия при оценке эффективности средств, не имеющих аналогов.

Связи и активности (действии, противодействия, взаимодействия) в рамках теоретико-множественного подхода можно рассматривать как отношения применительно к упорядоченной паре элементов системы и/или окружения:

Пусть A - система, а B - среда системы A.

Если x и y - элементы систем (возможно, разных), то связь, x  y, - это упорядоченная пара x y  R - некоторое отношение, характеризующее взаимодействие элементов x и y (обмен веществом, энергией, информацией).

Связь x  y является внутренней, если x  A , y  A, и соответственно x= a_i, y= a_n

Cвязь x  y является входом в систему A из среды B, если x  B, y  A, и соответственно x= b_j, y= a_i

Cвязь x  y является называют выходом из системы A в среду B, если a  A, b  B, и соответственно x= a_i, y= b_j

Выходы системы разделяют на цели и проблемы. Цель системы - (субъективно) желательный выход системы, а проблема системы - (субъективно) нежелательный выход системы.

Системно-исторический аспект направлен на изучение ретроспективы и перспективы развития системы, т. е. требует представления системы в непрерывном ее развитии. В период формирования проектной эффективности горизонты системно-исторического аспекта ограничивались «циклом жизни» СТС.

Считалось, что каждая техническая система проходит этапы разработки, создания, эксплуатации и последующего совершенствования на новом уровне. Поэтому для изучения систем необходимо знать, как возникла данная система, какие этапы совершенствования проходила в своем развитии, какой она стала в настоящее время и какие перспективы развития имеет в будущем. Всякая система для своего формирования черпает материал из предшествующих и существующих систем. Новая система возникает на основе разрозненных сначала компонентов других систем с учетом опыта их создания. Это позволяет использовать все лучшее, что накоплено в технике за время создания подобных систем. Вместе с тем, уже на этапе разработки системы необходимо исследовать перспективу ее развития, т. е. предусмотреть возможность модернизации элементов. Это необходимо в связи с быстрым моральным старением некоторых элементов, а также в связи с существенным различием гарантируемых сроков эксплуатации элементов различного типа.

Современные взгляды на системно-исторические аспекты анализа организационно-экономических и производственно-логистических сложных систем фокусируются на парадигмально-концептуальных, гносеологических и онтологических аспектах.

Парадигма – в философии и методологии науки – совокупность теоретических и методологических положений, принятых научным сообществом на определенном этапе развития науки в качестве образца, эталона, нормы. Понятие введено Т.Куном (Структура научных революций, 1962). Парадигма шире теории и нередко предшествует ей. Смена парадигмы – момент развития науки, научная революция. Считается, что смена парадигм не подлежит рационально-логическому объяснению, а диктуется социально-психологическими факторами, динамикой научно-технического прогресса.

Концептуальный аспект теоретического знания выражает прежде всего парадигмальное "сечение" знания, определяет релевантные области применения и способы выражения конституируемых на основе развертывания "порождающей" идеи систем понятий (базовых концептов).

Концепция исходит из установок на фиксацию предельных для какой-либо области ("фрагмента" действительности) значений и реализацию максимально широкого "мировидения" (на основе "отнесения" к ценностному основанию познания). Концепция - исходный способ оформления, организации и развертывания дисциплинарного знания, объединяющий в этом отношении науку, теологию и философию как основные дисциплины, сложившиеся в европейской культурной традиции.

Концептуальный аспект теоретического знания выражает прежде всего парадигмальное "сечение" последнего, определяет релевантные области применения и способы выражения конституируемых на основе развертывания "порождающей" идеи систем понятий (базовых концептов).

Инструментарий онтологии (раздела философии, занимающегося установлением природы фундаментальной сущности вещей в мире) позволяет составить точную спецификацию некоторой предметной области, словарь для представления и обмена знаниями об этой предметной области и множество связей, установленных между терминами в этом словаре. В простейшем случае построение онтологии сводится к: выделению концептов (базовых понятий данной предметной области) и построению связей между концептами (определению соотношений и взаимодействий базовых понятий). Одним из преимуществ использования онтологий в качестве инструмента познания является применение системного подхода к изучению предметной области.

Инструментарий гносеологии (учения о познании) позволяет исследовать целый ряд вопросов, касающихся познавательной деятельности человека, которая реализуется в конкретных науках, а также во вненаучных способах познания. Основная гносеологическая схема анализа познания включает субъекта, наделенного сознанием и волей, и противостоящий ему объект природы, независимый от сознания и воли субъекта и связанный с ним только познавательным отношением.

Следует отметить, что исследование сложных систем - творческий процесс. При этом те или иные аспекты системного подхода могут использоваться не полностью, может быть усилен какой-нибудь или несколько аспектов, однако всестороннее исследование предполагает только совокупное использование всех аспектов системного подхода.

Приложение 4.

Приложение теории множеств к проблеме выбора решений.

П ример применения понятия множеств к описанию объекта и зоны воздействия. В выделенном целевом или экономическом пространстве размещается объект воздействия, представленный в виде совокупности элементов x_o, каждый из которых обладает свойством перехода в желаемое состояние при воздействии фактора ψ (агрегатная парадигма) и составляет множество C_o., так что Х_оC_o , как это показано на см. Рис.1 с использованием диаграмм Эйлера-Венна.

В ходе операции в указанном пространстве размещается область воздействия, которая представляет собой множество C_{в ,} состоящее из элементов Х_в, каждый из которых нужным фактором воздействия ψ.

В результате операции осуществляется воздей-ствие на объект, которое в модели операции представляется в виде схемы исходов в виде подмножеств С_ов , С_он , С_вп .(см. Рис.2 и 3.).

Множество успешных исходов С_{ов ,} каждый элемент которого является элементом другого множества (области воздействия) С_в называет-ся подмножеством данного множества С_в.

Символическая запись С_ов  С_в (см. Рис2), а если зона воздействия полностью покрывает объект (см. Рис.3), то С_ов  С_в (здесь  - символ отношения включения всех элементов С_ов в С_в).

Схема исходов (Рис. 2) может быть описана в терминах операций над множествами.

Область успешного воздействия С_ов является пересечением множеств С_в и С_о.

Символическая запись С_ов = С_о ,  С_в

Область, совместно накрываемая объектом и воздействием, используемая как делитель при расчете относительных показателей эффективности C_во в терминах операций над множествами описывается как объединение множеств С_о и С_в. Символическая запись: С_во = С_о ,  С_в

Исход операции, связанный с «потерянным» воздействием (неликвидами, непроданными товарами) C_вп. в (см. Рис.6) в терминах операций над множествами описывается как разность между множествами С_в и С_о

Символическая запись: С_во = С_в \ С_о или С_в \ С_о = {x | x  С_в и x  С_о }

Исход операции, связанный с «необслуженной» частью объекта (неудовлетворенным спросом) C_вп. (см. Рис.7), в терминах операций над множествами описывается как разность между множествами С_о и С_в

Символическая запись: С_он = С_о \ С_в или С_о \ С_в = {x | x  С_о и x  С_в }

При расчете других показателей эффективности могут быть использованы такие операции над множествами, как симметрическая разность (см. Рис.10), дополнение (см. Рис.11) и Декартово или прямое произведение множеств.

Симметрическая разность множеств :С_о и С_в при описании исходов операции (см. Рис.10) характеризует общие потери воздействия.

Символическая запись:

С_о ΔС_в  С_о ─ С_в:= (С_о С_в) \ (С_о С_в ) ={x | (x  С_о  x  С_в)(x  С_о  x  С_в )}

Операция на множествами, именуемая дополнение к множеству С_о, может быть использована при необходимости представления в символьном виде в схеме операции выделенного экономического (целевого) пространства (см. Рис.11) за исключением объекта воздействия.

Системная аналитика выбора на основе специальных бинарных отношений.

Бинарным (или двуместным) отношением p на множестве X называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Если p есть некоторое отношение и пара < х, у > принадлежит этому отношению, то наряду с записью < х, у > p употребляется запись хру. Элементы х и у называются координатами (или компонентами) отношения p. n-нарным отношением на множестве X называется множество упорядоченных n-ок элементов этого множества X.

Каждое бинарное отношение р на множестве X есть подмножество прямого произведения X х X. Каждое n-нарное отношение на X есть подмножество прямого произведения Хⁿ.

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции объединения, пересечения и т. д.

Обратным отношением для р называется отношение p-1 = {<x,y> | <y,x>  p}

Композицией отношений p₁ и p₂ называется отношение p₁ о p₂ = {< х, z > | существует у такое, что < х, у > p₁ и < у, z > p₂ } Для бинарных отношений выполняются следующие свойства: 1. (p-1)-1 = p

2. (p₁ о p_{2 )}^-1 = (p_{1 )}^-1 о ( p_{2 )}^-1

Описывать отношения, заданные на конечном множестве X, можно с помощью специальных матриц — матриц смежности отношений.

Пусть X == {x₁, x₂, ..., x_n} - множество, на котором задано бинарное отношение р. Тогда матрица А == ||а_ij||, i, j, = 1, 2, … n, где: а_{ij = 1} если < x_i, x_j > p а_{ij = 0} если < x_i, x_j > p называется матрицей смежности отношения р.

Отношение р на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента х  X выполняется хрх. Отношение р па множестве X называется симметричным, если для любых х,у X из хру следует урх. Отношение р на множестве X называется транзитивным, если для любых х,у,zX из хру, урz следует хрz.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на множестве X.

Пусть р - отношение эквивалентности на множестве X.

Классом эквивалентности, порожденным элементом х, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов уX , для которых хру. Класс эквивалентности, порожденный элементом х, обозначается через [х]: [х]: = {y| yX и хру}.

Пусть р - отношение эквивалентности на множестве X. Тогда: 1) если хX, то х [х];

2) если х, у X и хру, то [х] = [у] (т. е. класс эквивалентности порождается любым своим элементом).

Рассмотрим еще один тип специальных бинарных отношений. Отношение р на множестве X называется антисимметричным, если для любых х,уX из хру и урх; следует х = у.

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением частичного порядка на множестве X и обозначается символом _≾.

Отношение х  у на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка.

Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение АВ есть отношение частичного порядка, Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого любые два элемента сравнимы, т, е, для любых х, уX х _≼у или у _≼ х, называется отношением линейного порядка.

Множество X с заданным на нем частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным. Элемент а частично упорядоченного множества X называется максимальным (минимальным), если из того, что арх (хра) следует, что х = а, т. е. в X нет ни одного элемента х  а такого, что арх (хра).

Элемент а частично упорядоченного множества X называется наибольшим (наименьшим), если хра (арх) для всех хX. Очевидно, что для линейно упорядоченных множеств максимальный элемент единственен и совпадает с наибольшим, соответственно, минимальный элемент единственен и совпадает с наименьшим.

Для отношений частичного порядка, заданных на конечном множестве, удобной иллюстрацией являются диаграммы Хассе. Рассмотрим непустое конечное множество X, на котором задано отношение частичного порядка ≾, Запишем х < у, если х ≾ у х  у, Говорят, что элемент у покрывает элемент x, если х < у и не существует такого элемента и, что х <u< у. Тогда х < у равносильно тому, что существуют такие элементы x₁,, x₂,… x _n), что х = x₁, < x₂,< x _n где . x_i+1, покрывает x_i.

Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если у покрывает x, то точки x и у соединяют отрезком, причем точку, соответствующую x, располагают ниже у, Такие схемы называются диаграммами Хассе.

На рисунке показаны две диаграммы Хассе, причем x₄ ●

вторая соответствует линейно упорядоченному множеству. |

По диаграмме легко установить, что отношение, x₃ ●

изображенное на рис. 1.3, а имеет два максимальных |

элемента x₂ и x₂, и не имеет наибольшего, а также имеет x₂ ●.

один минимальный элемент, который является |

наименьшим. |

Совпадение вида диаграмм Хассе говорит об одинаковой x₁ ●

структуре множеств.

Приложение 5.