9.Информационные аспекты исследования систем, измерения, шкалирование.

9.1. Измерения: построение индексов, шкалирование.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <Х, ψ, Y>, где Х- реальный объект, Y- шкала, ψ - гомоморфное отображение X на Y.

Y = {φ(x₁),...,φ(x_n), R_y.} знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе;

φ ∈ Ф - гомоморфное отображение X на Y, устанавливающее соответствие между X и Y, так, что {φ(x₁),...,φ(x_n)} ∈R_y. только тогда, когда {x₁, x₂,…x_i,…x_12ijn, x_n} ∈, R_x.

Тип шкалы определяется по Ф = {φ₁,…,φ_m}, множеству допустимых преобразований x_i → y_i.

В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы X с отношением R_x состоит в определении знаковой системы Y с отношением R_y., соответствующей измеряемой системе. Предпочтения R_x на множестве Х  X в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения R_y на множестве Y  Y.

Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам x_i или их неразличимым группам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.

Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений.

Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов, поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.

Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование φ(x), которое удовлетворяет условию: если x₁.>.x₂ , то и φ(x₁) > φ(x₂|) для любых шкальных значений x₁.>.x₂ из области определения φ(x).

Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Примерами шкал порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, различные социологические шкалы и т.п.

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида φ(x) = ax + b где x ∈ Y шкальные значе­ния из области определения Y; а > 0; b- любое значение.

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

Отсюда и происходит название данного типа шкал. Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: t° F = 1,8 t°С + 32.

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состо­ит из преобразований подобия ф (х) -ах, а> О, где х е У-шкаль­ные значения из области определения Т; а - действительные числа.

Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, про­изводя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно за­метить, что в какой бы системе единиц ни производилось изме­рение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстоя­ний и длин предметов.

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига ф (х) = х + Ь, где хе У -шкальные значения из области определения У; Ь действитель­ные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необхо­димо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. Примерами измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т. д.

Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: ф(х) = {е}, где е(х)=х. Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы

Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: ф(х) = {е}, где е(х)=х.

Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном абсолютном cмысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых сройств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала ф(х₁) = ax^b a>0, b>0 a ≠1 0 b ≠1 и ее разновидность логарифмическая шкала ф(х₁) = x^b b>0 b ≠1

Иерархическая структура основных шкал. Здесь стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шьал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе ф(х).

Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильными. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношении.

Номинальная шкала:

ф(х) - взаимно однозначные преобразования

↓

Порядковая шкала:

ф(х) - монотонно возрастающие преобразования { из х₁>х₂ ) следует ф(х₁)>ф(х₂)}

Слабые качественные шкалы

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Сильные количественные шкалы

Шкала интервалов: Степенная шкала: Ф (х) -

Ф (х) - линейные преобразования пропорциональные преобразования

φ(x) = ax + b ф(х₁) = аx^b

↓ ↓

Логарифмическая Шкала разностей Шкала отношений:

Шкала преобраз. Сдвига преобраз. подобия

ф(х₁) = x^b φ(x) = x + b φ(x) = ax

↓ ↓ ↓

Абсолютная шкала тождественные преобразования: ф(х) = {е}, где е(х)=х

Методы структуризации при принятии решений

Таблицы.

Оценка эффективности операции

(Система) аi	nj (Окружение)				K(ai)
	n1	n2	...	nk
a1	k11	k12	...	k1k
a2	k21	k22	...	k2k
...	...	...	...	...	...
аm	аm1	аm2	...	аmk

Горизонтальный анализ: варианта системы для разных условий.

Вертикальный анализ: всех вариантов системы для одного варианта уловий.