Определите общую прямую двух пучков

§12.3. Расстояние от точки до прямой

Уравнение   называется уравнением прямой в нормальной форме, если   Общее уравнение прямой приводится к нормальному виду с помощью нормирующего множителя где принято знак выбирать противоположным свободному члену, т. е. 

Пусть точка   лежит на расстоянии   от прямой и   - проекция точки на эту прямую,  - нормаль к прямой. Для нормального уравнения длина вектора нормали равна 1. Отклонением точки   от прямой называется число  , равное  , если векторы   и   сонаправлены и  , если  и   противоположно направлены. Тогда

Так как   то Для общего уравнения расстояние от точки   до плоскости вычисляется по формуле

Нормальное уравнение часто записывают в виде   Здесь  ,   - направляющие косинусы вектора нормали. Геометрический смысл параметра   - расстояние от начала координат до плоскости. Вектор нормали направлен в сторону полуплоскости, в которой нет начала координат.

Геометрический смысл знака трехчлена : для того, чтобы точка   и вектор  лежали в одной полуплоскости относительно прямой   необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 

Задача. Даны точки   и   и прямая   Проходит ли прямая через внутреннюю точку отрезка 

Так как числа и имеют разные знаки, то точки принадлежат различным полуплоскостям относительно прямой.

прямая пересекает отрезок.

Упражнения

1. Какие стороны треугольника с вершинами       пересекаются каждой из осей координат?

2. Докажите, что четырехугольник с вершинами         выпуклый.

3. Докажите, что четырехугольник с вершинами         невыпуклый.

4. Дан четырехугольник         

   • а) Докажите, что точки   и   лежат внутри данного четырехугольника.

   • б) Докажите, что точки   и   лежат вне данного четырехугольника.

5. Даны стороны треугольника       Составьте систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.

6. Изобразите на чертеже область, определяемую системой неравенств

7. Найдите длины высот треугольника, стороны которого заданы уравнениями:  и 

8. Напишите уравнение окружности с центром в точке   , касающейся прямой 

9. Выведите формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми   и   Пользуясь полученной формулой, определите расстояние между прямыми   и 

10. Составьте уравнения прямых, отстоящих от прямой   на расстоянии, равном 3.

11. Составьте уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных прямых:

    • а) 

    • б) 

12. На прямой   найдите точки, равноудаленные от прямых   и 

13. Составьте уравнение биссектрисы того угла между прямыми   и   в котором лежит начало координат.

14. Даны уравнения сторон треугольника:   и   Составьте уравнения вписанной и вневписанных окружностей.

15. Луч света направлен по прямой   Дойдя до прямой   луч отразился. Составьте уравнение прямой, на которой оказался отраженный луч.

16. Составьте уравнения сторон треугольника   зная уравнения двух биссектрис     и координаты вершины 

§ 12.4. Полярные координаты

Возьмем на плоскости прямую. Выберем на ней точку   и единичный вектор   а также некоторое положительное направление обхода. Пусть   - произвольная точка плоскости, отличная от  Положение этой точки однозначно определено заданием длины   отрезка   и углом   между векторами   и   Числа   и   называются полярными координатами точки   При этом   называетсяполярным радиусом, а   - полярным углом. Если   имеет полярные координаты   и   то пишем   Точка   называется полюсом, а луч   - полярной осью. Точка   вектор   и положительное направление обхода плоскости образуют полярную систему координат.

Заметим, что полярный угол имеет бесконечное много значений. Если   совпадает с   то   а значение   считаем неопределенным.

Пусть   - прямоугольная декартова система, где вектор   получен из вектора   и поворотом на 90 Полярные и прямоугольные декартовы координаты точки   связаны соотношениямиИногда рассматривают обобщенные полярные координаты. В этом случае считаем, что полярный радиус может принимать и отрицательные значения. Например, точка с полярными координатами (3; 210 ) имеет обобщенные полярные координаты (-3; 30 ).

Найдем полярное уравнение прямой на плоскости. Пусть прямая задана нормальным уравнением   Выразив переменные через полярные координаты, получим или Это и есть полярное уравнение прямой на плоскости.

Упражнения

1. В полярной системе координат даны точки   и   Вычислите расстояние между ними.

2. Вычислите площадь треугольника   если   - полюс и известны полярные координаты вершин 

3. Треугольник задан полярными координатами вершин:       Докажите, что треугольник равнобедренный.

4. Треугольник задан полярными координатами вершин:       Докажите, что треугольник прямоугольный.

5. Как расположены точки на плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют одному из условий: а)  б)   в)  г)   д)  е)

§ 12.5. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Данная точка называется центром окружности. Расстояние любой точки окружности до центра называется радиусом окружности.

Пусть   - центр окружности,   - ее радиус, а ) - текущая точка окружности. Тогда Возведя обе части равенства в квадрат, получим нормальное уравнение окружности Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем каноническое уравнение окружности

r: 

OK

Пример. Найдите координаты центра и радиус окружности

Выделив полные квадраты, преобразуем уравнение к виду или

Упражнения

1. Если точка   лежит вне окружности   то   а если внутри окружности, то   Докажите это.

2. Найдите геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек   и   этой плоскости постоянно и равно 

3. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек   и   этой плоскости постоянна.

4. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма квадратов расстояний которых от трех данных точек   и   этой плоскости постоянна.

5. Найдите геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к данной окружности, имеют постоянную длину.

6. Определите геометрическое место точек плоскости, из которых данный отрезок   виден под прямым углом.

7. Дана окружность радиуса   и на ней точка  . Найдите геометрическое место точек, делящих всевозможные хорды, проведенные через   в одном и том же отношении.

8. Найдите геометрическое место середин всех хорд окружности, имеющих данную длину.

§ 12.6. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости, постоянна. Эти две фиксированные точки   и   называютсяфокусами. Длина отрезка   называется фокусным расстоянием. Постоянную сумму расстояний обозначим через   так что для любой точки   эллипса имеем   Считаем, что 

Эллипс можно построить с помощью нити длиной   закрепленной концами в фокусах. Зацепив нить острием карандаша и двигая его так, чтобы нить все время была в натянутом состоянии, мы острием карандаша вычертим эллипс.

Для изучения эллипса применим метод координат, который в данном случае заключается в выборе системы координат, в которой уравнение эллипса имеет наиболее простой вид и наиболее удобный для исследования. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы, а серединный перпендикуляр отрезка   за ось ординат. Тогда координаты фокусов   и   Точка   принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда Получили уравнение эллипса. Преобразуем его. Так как   то существует положительное число   для которого   Отсюда Разделив обе части уравнения на   получим каноническое уравнение эллипса На самом деле уравнение (2) является следствием уравнения эллипса. Но мы покажем, что каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Пусть координаты точки  удовлетворяют уравнению (2). Тогда расстояние от этой точки до фокуса   равно  Аналогично вычисляется расстояние   до фокуса   Оно равно  Так как   то точка   лежит на эллипсе. Тем самым доказана эквивалентность уравнений (1) и (2) и мы имеем полное право уравнение (2) называть уравнением эллипса. Формулы длин фокальных радиусов нам еще окажутся полезными:

В каноническое уравнение эллипса переменные входят во второй степени. Это означает, что оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - центр симметрии эллипса. Для построения графика эллипса достаточно построить его в первой четверти и затем отобразить полученную линию относительно осей координат. В первой четверти уравнение эллипса имеет вид При возрастании   от 0 до   значение функции уменьшается от   до 0. График выпуклый вверх. Отразив эту линию относительно осей координат, получим график эллипса. Точки пересечения эллипса с его осями         называются вершинами эллипса, центр симметрии эллипса   - центром эллипса, отрезок   - большой осью эллипса,   - малой осью, число   -большой полуосью, число   - малой полуосью. Форма эллипса зависит от расстояния между фокусами. Если фокусы сближаются, то эллипс становится все более похож на окружность. Когда фокусы сольются с центром эллипса, то эллипс обратится в окружность с уравнением   Если фокусы отодвигаются от центра, то эллипс постепенно вырождается в отрезок. Основным прямоугольником эллипса называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям эллипса и отстоящими от них соответственно на расстоянии   и   Эллипс располагается внутри основного прямоугольника.

Рассмотрим окружность   и подвергнем ее преобразованию Получим   В результате сжатия окружности к ее оси симметрии она преобразуется в эллипс

Всякий эллипс может быть получен как результат равномерного сжатия некоторой окружности. Степень сжатия эллипса характеризуется эксцентриситетом   (отношение фокусного расстояния к длине большой оси). Эксцентриситет эллипса всегда меньше единицы. Для эллипса, выродившегося в прямолинейный отрезок, эксцентриситет равен 1. Для эллипса, превратившегося в окружность, когда его фокусы совпали, эксцентриситет равен нулю. Директрисой эллипса называется прямая, параллельная малой оси и отстоящая от нее на расстоянии   Под это определение попадают две прямые с уравнениями   и   Фокус и директрису, лежащие в одной полуплоскости, называемсоответствующими.

ТЕОРЕМА. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство. Воспользуемся формулой длины фокального радиуса: для левого фокуса имеем  Аналогично вычисляем отношение для правого фокуса.

ТЕОРЕМА. Уравнение касательной к эллипсу   в точке   эллипса имеет вид 

Доказательство. Продифференцировав обе части уравнения эллипса, получим 

Отсюда, угловой коэффициент касательной в точке   равен   а уравнение касательной в этой точке можно записать так: 

Задача. Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум перпендикулярным прямым. Найдите линию, описываемую некоторой точкой   движущегося отрезка.

Примем данные перпендикулярные прямые в качестве осей координат с началом координат в точке  пересечения этих прямых. Точка   отрезка скользит по оси   а точка   отрезка скользит по оси  Пусть точка   делит данный отрезок   на части   Если   то   Исключим из этих уравнений параметр  т. е. Таким образом, кривая, описываемая точкой   есть эллипс. Уравнение называется параметрическим уравнением эллипса.

a: 

b: 

OK

Задача. Луч света, выходя из одного фокуса, после отражения от эллипса попадает в другой его фокус (оптическое свойство эллипса).

Сумма расстояний до фокусов эллипса точки касания наименьшая среди остальных точек касательной, поскольку все они лежат вне эллипса. Отразим фокус   эллипса относительно касательной к эллипсу в точке   Получим точку   Точка   лежит на отрезке  , так как для любой другой точки  касательной По закону: угол падения равен углу отражения, луч движется по маршруту 

Задачи и упражнения

1. Докажите, что если точка находится вне эллипса, то сумма расстояний от нее до фокусов больше, чем на эллипсе, если внутри, то меньше.

2. Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой оси.

3. Докажите, что отрезок касательной к эллипсу в любой точке, заключенный между касательными, проведенными в вершинах, лежащих на большой оси, виден из фокусов под прямым углом.

4. Докажите оптическое свойство эллипса: всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки прикосновения.

5. Составьте геометрическое место точек, из которых эллипс   виден под прямым углом.

6. Через фокус   эллипса   проведена хорда, касательная оси   Определите длину этой хорды.

7. Равномерным сжатием плоскости к прямой   называется преобразование точек плоскости, при котором точка   переходит в точку   для которой   где   и   - основание перпендикуляра, опущенного из   на прямую   Пусть прямая   проходит через центр данной окружности. Докажите, что при равномерном сжатии к этой прямой окружность преобразуется в эллипс.

§ 12.7. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух фиксированных точек этой плоскости, постоянна. Эти две фиксированные точки   и   называютсяфокусами. Длина отрезка   называется фокусным расстоянием. Постоянную разность расстояний (из большего расстояния вычитаем меньшее) обозначим через  , так что для любой точки   гиперболы имеем  . Считаем, что  . Для изучения гиперболы применим метод координат. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокусы, а серединный перпендикуляр отрезка   за ось ординат. Тогда координаты фокусов   и  . Точка   принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда Получили уравнение гиперболы. Преобразуем его. Так как  , то существует положительное число  , для которого   Отсюда Каноническое уравнение гиперболы

a: 

b: 

OK

Уравнение (2) является следствием уравнения гиперболы. Покажем, что каждое решение уравнения (2) является решением уравнения (1). Пусть координаты точки  , удовлетворяют уравнению (2). Тогда расстояние от этой точки до фокуса   равно 

Аналогично вычисляется расстояние   до фокуса   Оно равно  . Так как   то точка   лежит на гиперболе. Тема самым доказана эквивалентность уравнений (1) и (2) и мы имеем полное право уравнение (2) называть уравнением гиперболы. Формулы длин фокальных радиусов нам еще окажутся полезными:

В каноническое уравнение гиперболы переменные входят во второй степени. Это означает, что оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - центр симметрии гиперболы. Для построения графика достаточно построить его в первой четверти и затем отобразить полученную линию относительно осей координат. В первой четверти уравнение гиперболы имеет вид

При возрастании   от   до бесконечности значение функции возрастает от   до  . График выпуклый вверх. Отразив эту линию относительно осей координат, получим график гиперболы. Ось симметрии гиперболы, имеющую с ней общие точки называем действительной осью гиперболы. Ось симметрии гиперболы, не имеющую с ней общие точки называем мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с действительной осью  ,   называют вершинами гиперболы, центр симметрии гиперболы   - центром гиперболы. Гипербола распадается на две ветви: "правую", для точек которой абсцисса   и "левую", для точек которой  .

Отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами называется эксцентриситетом  . Для гиперболы эксцентриситет всегда больше 1. Директрисой гиперболы называется прямая, параллельная мнимой оси и отстоящая от нее на расстоянии   Под это определение попадают две прямые с уравнениями   и  . Называем соответствующими фокус и директрису, лежащие в одной полуплоскости.

ТЕОРЕМА. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство. Воспользуемся формулой длины фокального радиуса: для левого фокуса при  имеем Аналогично вычисляем отношение в остальных случаях.

Продолжим изучение гиперболы в первой четверти. Положительная в первой четверти разность между ординатами прямой и гиперболы cтремится к нулю при бесконечном возрастании  . Прямая является асимптотой гиперболы. При бесконечном возрастании   гипербола приближается к прямой, но не пересекает. В силу симметрии такая же картина наблюдается в третьей четверти, а во второй и четвертой четвертях асимптотой является прямая Точка   лежит на асимптоте, т. е. геометрический смысл параметра   - ордината асимптоты, восставленная из вершины гиперболы. Так как то для нахождения фокуса гиперболы можно отложить на оси   отрезок  .

Основным прямоугольником гиперболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям гиперболы и отстоящими от них соответственно на расстоянии   и  . Диагонали основного прямоугольника гиперболы и есть асимптоты.

Упражнения

1. Докажите, что уравнение касательной к гиперболе   в точке   гиперболы имеет вид 

2. Точка   называется внутренней точкой гиперболы, если любая секущая, проходящая через эту точку и не параллельная асимптотам, пересекает гиперболу в двух различных точках. Внешней точкой гиперболы называется точка, не лежащая на гиперболе и не являющаяся внутренней. Докажите, что точка   внутренняя точка гиперболы   в том и только том случае, если

3. Найдите необходимое и достаточное условие касания прямой   с гиперболой  , если данная прямая не параллельна асимптотам гиперболы.

4. Найдите необходимое и достаточное условие касания прямой   с гиперболой  , если данная прямая не параллельна асимптотам гиперболы.

5. Докажите, что касательные в вершинах гиперболы, параллельны ее мнимой оси.

6. Если угловой коэффициент прямой удовлетворяет неравенствам  , то прямая не может касаться гиперболы Докажите это.

7. Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых гипербола видна под прямым углом.

8. Докажите, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе есть величина постоянная.

9. Докажите, что отрезок асимптоты, заключенный между центром гиперболы и директрисой, равен действительной полуоси.

10. Докажите, что директрисы гиперболы проходят через основания перпендикуляров, опущенных из соответствующих фокусов на асимптоты. Выразите расстояние от фокусов до асимптот через полуоси гиперболы.

11. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе, заключенный между асимптотами, делится в точке соприкосновения пополам.

12. Докажите оптическое свойство гиперболы: всякая касательная к гиперболе составляет равные углы с фокальными радиусами точки касания.

§ 12.8. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки и данной прямой этой плоскости. Данная точка   называется фокусом, а данная прямая называется директрисой. Расстояние   между фокусом и директрисой называется фокальным параметром или параметром параболы.

Для изучения параболы применим метод координат. За ось абсцисс примем прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе; за ось ординат - прямую, параллельную директрисе и проходящую на равном расстоянии от фокуса и директрисы. Координаты фокуса  . Точка  принадлежит параболе тогда и только тогда, когда Это - уравнение параболы. Преобразуем его. Получили каноническое уравнение параболы Каждому положительному значению х отвечают два значения  а   может принимать только положительные значения и нуль. График симметричен относительно оси  . Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

p: 

OK

Упражнения

1. Докажите, что уравнение касательной к параболе   в точке   параболы имеет вид

2. Найдите геометрическое место середин хорд параболы  , имеющих угловой коэффициент  .

3. Прямая  , не параллельная оси   касается параболы   тогда и только тогда, когда  . Докажите это.

4. Прямая  , не параллельная оси  , касается параболы   тогда и только тогда, когда  . Докажите это.

5. Точка   называется внутренней точкой параболы, если любая прямая, проходящая через эту точку и не параллельная оси параболы, пересекает параболу в двух различных точках. Внешней точкой параболы называется точка, не лежащая на параболе и не являющаяся внутренней. Докажите, что точка   внутренняя точка параболы   в том и только том случае, если

6. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на ее касательные.

7. Найдите геометрическое место точек плоскости, из которых парабола   видна под прямым углом.

8. Если из любой точки директрисы проведены к параболе две касательные, то прямая, соединяющая точки касания, проходит через фокус параболы. Докажите это.

9. Докажите оптическое свойство параболы: всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом точки и лучом, проходящим через точку касания и сонаправленным с осью.

10. Докажите, что произведение длин перпендикуляров, опущенных из концов любой фокальной хорды на ось параболы имеет постоянную величину.

§ 12.9. Полярное уравнение линии второго порядка

Найдем уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Начало полярной системы координат поместим в фокус (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы). Полярная ось направлена по фокальной оси в сторону, противоположную от соответствующей директрисы. Для произвольной точки   кривой обозначим через   расстояние от точки   до фокуса  , а через   - расстояние от   до директрисы. Наша кривая есть геометрическое место точек, для которых   где  - эксцентриситет эллипса или гиперболы и   в случае параболы. Пусть   - точка пересечения прямой, проведенной через  , перпендикулярно полярной оси и   Обозначая через   точку пересечения директрисы с фокальной осью, а через   - проекцию точки   на эту ось, получим, что   или где   - угол наклона вектора   к полярной оси. Это и есть уравнение эллипса, правой ветви гиперболы и параболы в полярных координатах. Этими уравнениями постоянно пользуются в астрономии и в механике.

§ 12.10. Общая теория линий второго порядка

Линией второго порядка называется линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени. Запишем уравнение второго порядка в самом общем виде При условии, что   вычислим 

ПРИМЕР. Для эллипса   имеем 

. Тогда 

Можно доказать, что эти числа являются инвариантами относительно преобразования параллельного переноса, т. е. при преобразовании поворота осей координат величины, составленные из соответствующих коэффициентов преобразованного уравнения, сохранятся. Можно доказать также, что при параллельном переносе осей координат не изменяются величины   и  . Таким образом, можно определить название линии второго порядка.

С помощью параллельного переноса системы координат можно освободиться от слагаемых первой степени, а с помощью поворота осей можно освободиться от слагаемого, содержащего произведение переменных. После подбора подходящей системы координат уравнение второй степени примет наиболее простой вид. Коэффициенты приведенных уравнений определяются при помощи инвариантов.

Упражнения

1. Центром линии называется точка плоскости, по отношению к которой точки линии симметричны парами. Линии второго порядка, обладающие центром, называются центральными. Докажите, что точка   является центром линии (1) тогда и только тогда, когда

2. Определитель второго порядка   , составленный из коэффициентов при старших слагаемых уравнения (1), называется дискриминантом уравнения (1). Докажите, что линия второго порядка центральная тогда и только тогда, когда  . Докажите, что координаты центра находятся по формулам

3. Определитель   называется дискриминантом левой части уравнения (1); здесь  и   для  ю При переносе начала координат в центр линии (1) с помощью преобразования   уравнение (1) приобрело вид Докажите, что 

4. Установите, что следующие линии являются центральными, и найдите координаты центра каждой линии:

   • а)

   • б)

   • в)

   • г)

5. Уравнение (2) подвергнем преобразованию поворота осей на угол  при условии, что   Докажите, что в новых координатах уравнение линии примет вид   где   и 

6. Уравнение второй степени называется эллиптическим, если  , гиперболическим, если   и параболическим, если  . Докажите, что уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.

7. Докажите, что каждое эллиптическое уравнение является уравнением эллипса, либо вырожденного эллипса, либо мнимого эллипса.

8. Докажите, что каждое гиперболическое уравнение определяет уравнение гиперболы либо вырожденной гиперболы.

9. Докажите, что если  , то линия либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.

10. Уравнение (1) подвергнем преобразованию поворота осей на угол при условии, что   и  . Докажите, что в новых координатах уравнение линии примет вид где  , либо вид где