Билет №6

1. Независимые испытания. Формула Бернулли.

2. Математическое ожидание случайной величины, его свойства.

3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины равна:

.

Найти числовые характеристики СВ .

4. При измерении детали ее длина Х является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами см и см. Найдите интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает Х.

Билет №7

1. Интегральная теорема Лапласа.

2. Двумерные дискретные случайные величины: матрица распределения, условные вероятности.

3. Имеется три одинаковых на вид урны. В первой урне 3 белых и 1 черный шар, во второй – 4 белых и 5 черных шаров, в третьей – 2 белых и 4 черных шара. Из наудачу выбранной урны извлекли шар. Какова вероятность того, что он белый?

4. Два студента должны встретиться в условленном месте с 11⁰⁰ до 12⁰⁰. Время прихода обоих студентов независимо и равновозможно в течение данного часа. Определить вероятность того, что студенты встретятся, если первый студент ожидает второго 15 мин, а второй первого – 20 мин., после чего каждый из них уходит.

Билет №8

1. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

2. Плотность распределения двумерной случайной величины, её свойства.

3. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55?

4. В коробке имеется 7 карандашей, из которых 4 карандаша красные. Наудачу извлекаются 3 карандаша. Составить ряд распределения случайной величины, означающей число извлеченных красных карандашей. Построить многоугольник распределения.

Билет №9

1. Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

2. Случайные процессы: основные понятия. Цепи Маркова.

3. Нарисуйте граф состояний для Марковской цепи, вероятности перехода которой заданы матрицей:

.

4. Игральная кость налита свинцом, в результате чего вероятность выпадения каждого числа очков пропорциональна этому числу. Найдите указанные вероятности и вероятностное пространство. Решите задачу, если вероятность выпадения числа очков обратно пропорциональна этому числу.

Билет №10

1. Основные понятия теории вероятностей. Соотношения между событиями.

2. Нормальное распределение: плотность распределения, его числовые характеристики.

3. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Какова вероятность того, что этот шар был вынут из первого ящика?

4. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий: а) нет ни одного испорченного, б) будут два испорченных.

Билет №11

1. Теорема сложения вероятностей и ее следствия.

2. Функция распределения двумерной случайной величины, её свойства.

3. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

4. Плотность вероятности непрерывной случайной величины равна:

.

а) Найти функцию распределения F(x); б) найти числовые характеристики СВ .