1) Вычислите все частные производные первого порядка;

2) Найдите производную в точке м0 (2; 1; 1) по направлению вектора

;

3) Найдите

Решение

1) Находим частные производные функции u= u(x,у):

2) Находим производную по направлению вектора :

Находим направляющие косинусы вектора :

cosα =

cosβ =

cosγ =

Находим значения частных производных в точке М₀:

Находим производную по направлению вектора в точке М₀ (2; 1; 1):

3) Находим градиент

Ответ: 1)

2) ; 3) ;

Задание 107

Дана функция . Вычислите значение ее частной производной четвертого порядка в точке

Решение

Найдем частные производные:

Вычислим значение производной в точке :

Ответ: 36

Задание 107

Найдите неопределенные интегралы:

а) б) в) г)

Решение

а)Преобразуем подинтегральное выражение

Сделаем замену переменной: t = 2x, dt = 2dx, dx = dt/2.

_{Вернемся к переменной х:}

б)

Найдем искомый интеграл методом замены переменной. Введем новую переменную t = sin5x. Тогда dt = 5cos5 dx, cos5 dx = dt/5 Имеем

_{Вернемся к переменной х:}

в)

Применим метод интегрирования по частям, для чего воспользуемся формулой:

Положим u = =3х² + 2х

Тогда = (3х² + 2х )  =6x + 2; du = (6x + 2)dх = 2(3x + 1)

Повторным интегрированием по частям найдем интеграл .

3х + 1 = u, du 3dx

Тогда искомый интеграл

=

г)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение

:

Полученный интеграл представим в виде двух интегралов:

= = =

Аналогично найдем

= =

Получили

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г)