5) Найдем уравнение плоскости, которой принадлежит грань а1а2 а3 по трем точкам:

(x-3)( - 3 - 2) – (y - 2)( -1 + 4) + ( z - 1)(-1 - 6) = 0

- 5(x-3) - 3(y - 2) - 7( z - 1) = 0

- 5x - 3y - 7z + 28 = 0 

5x + 3y + 7z - 28 = 0 – общее уравнение плоскости А₁А₂ А₃.

= (A, B, C) = (5, 3, 7) – нормальный вектор плоскости А₁А₂ А₃.

6) Массу пирамиды изготовленной из меди плотности , найдем по формуле:

m =  V, где V – объем пирамиды.

Найдем объём пирамиды по формуле:

V = ,

где S- площадь грани А₁ А₂ А_3, h – высота, опущенная из вершины А₄.

Найдем длину высоты h как расстояние от точки А₄ (2; -1; 2) до

плоскости А₁ А₂ А₃:

Ответ: 1) 14,76 ^о; 2) ; 3) ;

4); ; 5) 5x + 3y + 7z - 28 = 0; 6) 10,4 грамма.

Задание 57

Изобразите геометрическое место точек, заданных уравнением

:

1) На плоскости,

2) В пространстве. Решение

1. Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:

3(х² + 6х + 9) – у – 27 + 28 = 0

3(х + 3)² = у – 1

(х + 3)² = (у – 1)

Введем новые координаты:

х + 3 = х, у – 1 = у

Тогда уравнение примет вид

х ′ ² = у′

Получили каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси ординат. Ветви ее обращены в положительную сторону оси ординат. Вершина находится в точке О′ (- 3; 1) в системе координат хОу.

2р = , р =

Изобразим полученную параболу на плоскости хОу:

В пространстве данное уравнение описывает параболический цилиндр, который пересекает плоскость хОу по параболе с вершиной в точке (-3, 1, 0).

Контрольная работа №2 Задание 67

Найдите пределы последовательностей.

а) б)

в)

Решение

а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим числитель и знаменатель на n³:

=

б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим числитель и знаменатель на n³:

в) Здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом .

Ответ: а) 0; б) ; в) е ^{- 2}

Задание 77

Найдите производную заданных функций:

а) б)

Решение

а)

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций

(vⁿ)' = n v^{n - 1} v ', где v = 2х³ + x в одном случае и v = - в другом случае. Получаем:

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

(arctg u)′ = - , где u = . Получим

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

, где :

б)

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

, где в одном случае, и - в другом случае. Получим

Ответ: а) ; б)

Задание 87

Найдите предел функции :

1) Не пользуясь правилом Лопиталя;

2) Используя правило Лопиталя.

Решение

1. При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность . Чтобы избавиться от нее, преобразуем выражение и воспользуемся первым замечательным пределом .

Введем замену переменной:

1. x = t, x = 1 – t, , t  0 при х  1.

2. Так как имеем неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя:

Ответ : 

Задание 97

Дана функция .