- •Векторы, линейные операции над ними, разложение по базисам. Основные формулы, связанные с декартовыми координатами.
- •Скалярное произведение векторов, свойства, применение.
- •Прямая в пространстве, стандартные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
- •Полярная система координат. Уравнение кривых второго порядка в полярных координатах.
- •Матрицы, операции над ними, свойства.
- •Определитель любого порядка. Свойства, вычисление.
- •Нахождение ранга матрицы.
- •ИсСледование общего уравнения кривой второго порядка.
-
Векторы, линейные операции над ними, разложение по базисам. Основные формулы, связанные с декартовыми координатами.
Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, мы будем рассматривать свободные векторы т.е. те которые можно переносить параллельно самим себе.
Длиной или нормой вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длину вектора АВ обозначают |АВ|. Вектор длина которого равна 1 называется единичным или ортом. Свободный вектор однозначно определяется своей длиной и направлением.
Векторы, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными.
Векторы называются компланарными, если сущ. Плоскость, которой они параллельны.
Лин. операции над векторами.
Для свободных векторов определены операции сложения, вычитания и умножения их на действительные числа.
Сумма двух векторов А и В называется вектор (А+В), который получается из векторов А и В. Сумма конечного числа n векторов а1,а2,..аn по определению , есть замыкающий вектор ОАn
Вектор (-В) называется противоположный ему вектор В.
Разностью двух векторов А и В называется вектор (А-В), суммой векторов А и –В направлен к концу вектора А.
Произведением вектора А на действительное число Альфа наз. Вектор В=Альфа*А, длина которого |Альфа|*|A|. Совпадает с направлением А, если Альфа>0. Если меньше….наоборот.
Если а не равно 0 то единичный вектор а0 =а/|а| называется ОРТОМ.
Свойства.
1.А+В=В+А 2.(А+В)+С=А+(В+С) 3. А+0=А 4. А+(-А)=0
5. альфа*(Бета*а)=(Альфа*Бета)*А 6.1*А=А 7. (Альфа+Бета) *А=Альфа*А+бета*В
Множество векторов уд свойствам 1-8 наз. линейным или векторным пространством.(R3)
Проекция вектора. Угол между двумя векторами наз. Наименьший угол ФИ(0;пи), на который нужно повернуть один вектор чтобы он совпал по направлению с другим вектором. Проекция вектора а=АВ на ось L называется длина отрезка А1В1, заключённого между ортогональными проекциями начала и конца вектора АВ на эту ось, взятая со знаком минус, если не совпадает. ПР л А=|А|*cos Fi
Направленный отрезок Ал=А1В1 называется ортогональная составляющей вектора АВ по оси Л.
Ортогональная составляющей вектора А=(ПРлА)*10 , где 10 – единичный вектор, соответствующий направлению оси Л.(2 свойства)
Лиин зависим векторов. Векторы e1,e2,e3, … en называются линейно зависимыми если сущ такие постоянные числа во Лямда1, Лямда2.. не все одноврем равные нулю, что выполняется равенство
Лямда1*е1+Лямда2*e2…+ЛямдаN*eN=0. => eN=(-Лямда1/ЛямдаN)*e1-…-(ЛямдаN-1/ЛямдаN)*eN-1
eN линейно выражается через комбинацию пред. Векторов.
Если равенство вып только пря ВСЕХ равных лямда Тл векторы линейно-независимые.
Вектор единственным образом разлагается в три некомпланарных вектора.
Любые три компланарных вектора всегда линейно –зависимы.
Любые 4 вектора в простр линейно-зависимы. Коефф (лямда) – координаты вектора в данном базисе.
Базис образует любая тройка некомпланарных векторов.
Декартова сист координ.
r=xi+yj+zk. X,y,z – координ вектора r в базисе I,j,k. Координаты являются проекциями на оси.(теорема). |a|=Корень(x*x*+y*y+z*z) cos(Alfa)=x/|a|, Beta, Gama… cos2A+cos2B+cos2C=1
Расстояние - |АВ|=Корень( (х2-х1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2) Конца-начала.