74 экзаменационных вопроса по высшей математике
.docЭкзаменационные вопросы по курсу «Высшая математика»
-
Определение комплексного числа. Арифметические операции над к.ч. Алгебраическая форма к.ч. Сопряженные к.ч.
-
Геометрическая интерпретация и тригонометрическая форма записи к.ч.
-
Показательная форма записи к.ч. Извлечение корня из к.ч.
-
Многочлены: теорема о делении с остатком, правила деления многочленов, теорема Безу, корни многочленов, их кратность, теорема о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами.
-
Приводимые и неприводимые многочлены над R и С. Канонические разложения над R и С. Примеры.
-
Теорема о рациональных корнях многочлена с действительными коэффициентами. Признак кратности корня многочлена и функции.
-
Рациональные функции. Простейшие дроби. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших. Нахождение коэффициентов разложения (метод неопределенных коэффициентов, метод произвольных значений).
-
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
-
Методы интегрирования: поднесение под знак дифференциала, замена переменной.
-
Интегрирование по частям. Типичные интегралы, берущиеся по частям. Интегралы видаи т.п.
-
Интегрирование простейших дробей и рациональных функций.
12. Интегрирование иррациональных функций вида
(подстановки Эйлера, тригонометрические подстановки).
-
Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры.
-
Интегрирование тригонометрических выражений.
-
Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Интегрируемые функции (теоремы).
-
Основные свойства определенного интеграла.
-
Теоремы о среднем.
-
Вычисление определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница.
-
Методы вычисления определенных интегралов: метод замены переменных, интегрирование по частям. Интегрирование периодических, четных и нечетных функций.
-
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла (в декартовой и полярной системах координат).
-
Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла (по известным поперечным сечениям, объем тела вращения).
-
Вычисление длины дуги кривой с помощью определенного интеграла (в декартовой и полярной системах координат).
-
Вычисление площади поверхности вращения с помощью определенного интеграла.
-
Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы, сила давления жидкости на вертикальную пластину и другие).
-
Несобственные интегралы с бесконечными пределами (НИ-1). Определение, признаки сравнения, эталонный НИ-1, абсолютная и условная сходимость. Главное значение НИ-1.
-
Несобственные интегралы от неограниченных функций (НИ-П). Определение, признаки сравнения, эталонный НИ-Н. Главное значение НИ-П.
-
Определение функции многих переменных. Линии и поверхности уровня.
-
Предел функции многих переменных: предел функции в точке, повторные пределы, предел в данном направлении.
-
Непрерывность функций многих переменных. Свойства непрерывных функций.
-
Частные производные первого порядка функции многих переменных. Их геометрический смысл.
-
Полный дифференциал функции многих переменных. Частный дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Использование полного дифференциала для приближенных вычислений значений функции.
-
Производная сложной функции нескольких переменных. Полная производная. Дифференцирование неявных функций.
-
Производная по направлению. Теорема о ее вычислении. Теорема о возрастании-убывании функции в данном направлении. Градиент.
-
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
-
Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Признак полного дифференциала.
-
Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность их формы.
-
Формула Тейлора для функций многих переменных.
-
Локальный экстремум функций многих переменных. Теорема о необходимом и теоремы о достаточных условиях локального экстремума. Глобальный экстремум.
-
Условный экстремум функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
-
Определение двойного интеграла и его основные свойства.
-
Вычисление двойного интеграла.
-
Замена переменных в двойном интеграле.
-
Определение и основные свойства тройного интеграла.
-
Вычисление тройного интеграла.
-
Замена переменных в тройном интеграле.
-
Криволинейный интеграл первого рода (КРИ-1).
-
Криволинейный интеграл второго рода (КРИ-И).
-
Связь между КРИ-I и КРИ-П.
-
Формула Грина (связь между двойными и криволинейными интегралами).
-
Условия независимости КРИ-П от пути интегрирования.
-
Двусторонние поверхности. Площадь поверхности.
-
Поверхностные интегралы первого типа (определение, вычисление).
-
Поверхностные интегралы второго типа (нормаль к поверхности, определение ПИ-П, вычисление).
-
Связь между ПИ-I и ПИ-П.
-
Формула Остроградского (связь между тройными и поверхностными интегралами).
-
Формула Стокса (связь между криволинейными и поверхностными интегралами).
-
Скалярные и векторные поля (основные понятия и определения).
-
Поток вектора через поверхность. Его вычисление в случаях явно, неявно и параметрически заданной поверхности.
-
Поток вектора через замкнутую поверхность. Источники. Стоки. Дивергенция и ее физический смыся. Формула Остроградского в векторной форме.
-
Циркуляция вектора. Ротор.
-
Потенциальные и соленоидальные векторные поля.
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения: общие понятия и определения. Задача Коши.
-
Уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения первого порядка; уравнения, приводящиеся к ним.
-
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа), Метод интегрирующего множителя (Эйлера). Уравнение Бернулли.
-
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия и определения i (уравнение, решение, общее решение, задача Коши, краевая задача).
-
Уравнения n-го порядка, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка.
-
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия и определения. Линейные однородные уравнения n-го порядка. Свойства решений. Линейная зависимость, фундаментальная система решений.
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
-
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (общие понятия и определения). Связь между системами ОДУ и уравнениями высших порядков.
-
Линейные однородные системы ОДУ. Свойства их решений. Фундаментальная система решений. Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами.
-
Линейные неоднородные системы ОДУ с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.