Примеры

Примеры.

1. Вычислить: а) |5|-2; б) |-12| : 6; в) |-24| + |13|; г) |65|-|-45|.

Решение. а) |5|-2=5-2=3;

б) |-12| : 6=12 : 6=2;

в) |-24|+|13|=24+13=37;

г) |65|-|-45|=65-45=20.

2. Решить уравнение: а) |m|+4=10; б) 6-|x|=2.

Решение.

а) |m|+4=10;

|m|=10-4; из суммы вычли известное слагаемое;

|m|=6. Так как |-6|=6  и  |6|=6, то m=-6  или m=6.

Ответ: -6; 6.

б) 6-|x|=2.

|x|=6-2;

|x|=4, отсюда х=-4 или х=4.

Ответ: -4; 4.

3. Записать перечислением элементов множество целых чисел А, модуль которых меньше числа 5.

Решение. По определению модуля числа 5 искомые числа должны отстоять от начала отсчета как вправо, так и влево на расстояние, меньшее пяти единичных отрезков. В этом промежутке (показан штриховкой на рисунке) бесконечно много чисел, но нам нужно выбрать из них лишь все целые числа. Берем числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Числа -5 и 5 не подходят по условию.

Ответ:  множество А={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

4. Записать перечислением множество натуральных чисел В, модуль которых меньше числа 5.

Решение. Из всех чисел, показанных на рисунке штриховкой, нам нужно выбрать натуральные, т.е. только те числа, которые употребляются при счете предметов. Ответ:B={1, 2, 3, 4}.

Пример 1.

 , т.к.   < 0 ;

 , т.к.   < 0

Пример 2.

Упростить выражение   , если a < 0.

Решение.

Так как по условию а < 0, то |а| = -а. В результате получаем

Ответ: 

Пример 3.

Вычислить

Решение.

Решение.

Имеем

Теперь раскроем знаки модулей.

Воспользуемся тем, что 1 < ? 3  < 2. Значит, ?3 - 2 < 0, а ?3 - 1 > 0.

Но тогда |?3 - 2| = -(?3 - 2) = 2- ?3 ,

а |?3 - 1| = ?3 - 1

В итоге получаем

Ответ: 1

Пример 1.

|x — 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки   до точки   равно  . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения:   и  .

Пример 2.

Решим неравенство: |x + 7| < 4.

Можно прочитать как: расстояние от точки   до точки   меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).

Пример 3.

Решим неравенство: |10 — x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки   больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

График функции y = |x|

Для x≥ 0 имеем y = x. Для x < 0 имеем y = -x.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

При решении задач, содержаних модуль вещественного числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению:

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например:  , так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых   и  . Или , так как выражением под модулем не положительно при любых  .

Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл

Числовая прямая, числовая ось, - это прямая на которой изображаются действительные числа. На прямой выбирают начало отсчета – точку О (точка О изображает 0) и точку L, изображающую единицу. Точка L обычно стоит справа от точки О. Отрезок ОL называют единичным отрезком. Точки, стоящие справа от точки О изображают положительные числа. Точки стоящие слева от точки. О, изображают отрицательные числа. Если точка Х изображает положительное число х, то расстояние ОХ = х. Если точка Х изображает отрицательное число х, то расстояние ОХ = - х. Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой этой точки.     Точка V  изображенная на рисунке имеет координату 2, а точка H имеет координату -2,6. Модулем действительного числа называется расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей этому числу.  Обозначают модуль числа х, так: | х |. Очевидно, что | 0 | = 0. Если число х больше 0, то | х | = х, а если х меньше 0, то | х | = - х. На этих свойствах модуля, основано решение многих уравнений и неравенств с модулем. Пример: Решить уравнение | х – 3 | = 1. Решение: Рассмотрим два случая – первый случай, когда х -3 > 0, и второй случай, когда х - 3  0. 1. х - 3 > 0, х > 3. В этом случае | х – 3 | = х – 3. Уравнение принимает вид х – 3 = 1, х = 4. 4 > 3 – удовлетворят первому условию. 2. х -3 0, х  3. В этом случае | х – 3 | = - х + 3 Уравнение принимает вид х + 3 = 1, х = - 2. -2  3 – удовлетворят второму условию.  Ответ: х = 4, х = -2.

.Модуль действительного числа

и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо  ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.  Короче это записывают так:

Например,

На практике используют различные свойства модулей, например:  1. |а|  0.  2.|аb| =|a| |b|.  2. Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через   (a, b) расстояние между точками а и b (  — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если  b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b. 

Все три случая охватываются одной формулой: 

Пример 1. Решить уравнения:  а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x -   I = 0.  Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию   (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет  два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее   (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2. 

в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое,   (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.  г) Для уравнения

|х -  | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х -   = 0, т. е. х =   .

Пример 2. Решить уравнения:  а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Р е ш е н и е. а) Имеем

|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|.| = 2|x -3| Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду  2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.  Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию   (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7  (рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.  б) Имеем

Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду

Переведем аналитическую модель   на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию

Значит, они удалены от точки   , на расстояние, равное 2.

 

в) Для уравнения  | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.

Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.

Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).

4. Тождество  Мы знаем, что если  .А как быть, если а < 0? Написать у   в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что  , а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

Чему же равно выражение  при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а². Таким числом будет - а. Смотрите: 1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число, значит, - а — положительное число);  2)(-а)²=а².  Итак,

Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в правой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяется модуль числа а:

Значит,  и | а | — одно и то же. Тем самым мы доказали важное тождество:

В роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение.

Пример 4. Упростить выражение   , если:  а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.  Решение. Как мы только что установили, справедливо тождество

а) Если а - 1 > 0, то | а - 1| = а - 1. Таким образом, в этом случае получаем   = а - 1.  б) Если а - 1 <0, то |а - 1| = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом случае получаем   = 1 - а. в

Оглавление.

I. Введение------------------------------------------------------------------------------1

II. Основная часть.-------------------------------------------------------------------1-13

    1. Историческая справка------------------------------------------------------- -3-4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |а|---------------------------- -4-5

    3.  График функции у=f |(х)|-----------------------------------------------------5-8

    4. График функции у = | f (х)|  --------------------------------------------------8-10

    5. График функции  у=|f |(х)| | -- ---- ------------------------------------------10-13

III. Заключение.-------------------------------------------------------------------------13

IV. Список литературы ---------------------------------------------------------------14