Модуль числа
Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:
|а| = а
Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
|а| = - а
Короче это записывают так:
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5
Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6
Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:
|-а| = |а|
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:
|0| = 0
На практике используют различные свойства модулей:
|а| ? 0
|а·b| = |а| · |b|
|а|n = аn , n є Z, a ? 0, n > 0
|а| = | - а|
|а + b| ? |а| + |b|
|а·q| = q·|а| , где q - положительное число
|а|2 = а2
Значение |a - b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.
Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа .
В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной[1]. Он определяется по формуле:
С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.
Вещественные числа
Область определения: .
Область значений: .
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.
Комплексные числа
Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: .
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.
Алгебраические свойства
Для любых имеют место следующие соотношения:
(см. Функция sgn(x)).
.
Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:
, причём тогда и только тогда, когда .
.
.
(неравенство треугольника).
.
.
.
, если существует.
История
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
В языках программирования
Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а вC fabs(x) для вещественного типа.
Обобщение
Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.
Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а.
Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3, и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. Противоположные числа имеют равные модули. Модуль нуля равен нулю: |0|=0.
По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0. Читают: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.