7. Как связаны разделенные разности и производная?

Разделенные разности первого, второго и более высоких порядков связаны с производными соответствующих порядков.

Рассмотрим разделенные разности полинома  . Многочлен   обращается в нуль при   , поэтому он делится нацело на  , т.е. разделенная разность первого порядка многочлена  -й степени  (1.6) есть многочлен степени   относительно  , а в силу симметрии - и относительно  . Разделенная разность второго порядка  (1.7) по аналогии также есть многочлен, степень которого равна  , т.к. разность   делится нацело на  . Продолжая указанный процесс, придем к тому, что разность  - го порядка   является константой, т.е. многочленом нулевой степени, и все разделенные разности более высокого порядка равны нулю. Из выражений (1.6),(1.7) следует:

8. Что такое сплайн? Как происходит процесс интерполирования сплайнами?

Сплайн — функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом.

Пусть на интервале [a,b] задана сетка и значения функции в её узлах. Кубический сплайн(сплайн функций),соответствующим сетке и функции ,называется функция удовлетворяющая следующим условиям: - при является кубическим полиномом; - непрерывна на [a,b]; - ; Если, кроме перечисленного, функция удовлетворяет условию , то она является естественным кубическим сплайном.

9. Что такое конечная разность первого порядка? Как она находится?

Конечной разностью 1-го порядка называют разность между двумя соседними значениями   в узлах интерполяции, то есть

10. Что такое конечная разность второго порядка? Как она находится?

Конечной разностью 2-го порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями 1-го порядка, то есть

11. Что такое конечная разность n-го порядка? Как она находится?

Конечной разностью порядка   (для  ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка  , то есть

12. Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов.

Пусть в равноотстоящих точках  , где h – шаг интерполяции, заданы значения   для функции . Требуется подобрать полином  степени не выше n , удовлетворяющий условиям (1). Введем конечные разности для последовательности значений   :

          (2) Условия (1) эквивалентны равенствам:

при 

Опуская выкладки, приведенные в [1] , окончательно получим первую интерполяционную формулу Ньютона:

        (3)

где     – число шагов интерполяции от начальной точки   до точки х . Формулу (3) целесообразно использовать для интерполяции функции   в окрестности начальной точки  , где  q по абсолютной величине мало.

В частных случаях имеем:

при  n = 1 – формулу линейной интерполяции:

;

при  n = 2 – формулу квадратичной или параболической интерполяции:

13. Вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов.

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона:

         (4)

Подробный вывод формулы (4) приведен в [1]. Отметим, что если   и  х близко к  , то имеет смысл применять первую интерполяционную формулу Ньютона, если же   и х  близко к   , то в этом случае удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона. Иначе говоря, первая интерполяционная формула Ньютона используется обычно для интерполирования вперед, а вторая интерполяционная формула Ньютона – для интерполирования назад.