Периодические функции
Определение.
Функцию
,
заданную на множестве Х,
называют периодической,
если существует такое, отличное от нуля
действительное число
,
что:
справедливо:
и
справедливо:
где
– период функции.
Из
определения следует, что если
период данной функции, то
также период данной функции.
Теорема.
Пусть функция
задана на множестве Х.
Если число
является периодом функции, то для любого
целого числа n,
число
– также период данной функции.
Доказательство.
Докажем
справедливость данной теоремы методом
математической индукции для любого
.
Докажем справедливость утверждения для n=1
.
Так как число
является периодом функции, то для
n=1
утверждение
справедливо.Предположим, что утверждение справедливо для n=k, то есть, если число является периодом функции, то и
является периодом функции.Докажем утверждение для n=k+1, то есть
Проверим первое условие определения.
Рассмотрим
Число
по индукционному допущению,
Х
и
– период по условию.
Проверим второе условие из определения.
f(х+(kТ+Т))=f((х+kТ)+Т), так как – период функции, то f(х+kТ)=f(x) по допущению индукции.
Аналогично для х–(kТ+Т) Х и f(х–(kТ+Т))=f((х–kТ)–Т).
На основании метода математической индукции, если период данной функции, то и – также период данной функции. Теорема доказана.
Пример.
Выясним,
является ли функция
периодической.
Решение.
для
.
Предположим, что существует
и
Найдем
.
тогда
что противоречит предположению,
следовательно,
не является периодической.
Возрастающие и убывающие функции
Пусть функция определена на множестве Х.
Определение.
Функцию
,
определенную на множестве Х,
называют возрастающей
на некотором промежутке,
если из того, что
следует, что
.
То есть функция , определенная на Х является возрастающей, если меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (Рис. 50а).
а) 
б)
Рис. 50
Определение.
Функцию
,
определенную на множестве Х,
называют
убывающей
на некотором
промежутке,
если из того, что
следует, что
То есть функция , определенная на Х является убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции (Рис. 50б).
Определение.
Функцию
,
определенную на множестве Х,
называют невозрастающей
на некотором промежутке,
если из того, что
следует, что
.
Определение.
Функцию
,
определенную на множестве Х,
называют
неубывающей
на некотором
промежутке,
если из того, что
следует, что
На рисунке 51 приведены примеры не возрастающей (Рис. 51а) и неубывающей (Рис. 51б) функций.
а)
б)
Рис. 51
Определение. Функцию , определенную на множестве Х, называют монотонной на всей области определения, если функция возрастает или убывает на всей области определения.
Пример.
Исследуем функцию
х
(
)
на возрастание и убывание.
Решение.
Областью определения данной функции
является множество
.
Фиксируем
Пусть
.
Определим знак разности
,
имеем:
Так как
и 2>0, то
,
то есть
и функция
возрастает на всей области определения.