Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b  действительные числа, причем а<b.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих вид:

 отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

 интервал (открытый промежуток);

;  полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);

‒ бесконечные интервалы.

Числа а и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы  и + являются символическими обозначениями процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Определение. Пусть  любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки называют любой интервал (а; b), содержащий точку . В частности, интервал , где , называют -окрестностью точки . Число называют центром окрестности, число  радиусом окрестности.

Если то выполняется неравенство или Выполнение неравенства означает попадание точки х в -окрестность точки (Рис. 38).

Рис. 38

Понятие функции

Определение. Функцией одного переменного называют соответствие F между элементами множеств X и Y, при котором полный образ любого элемента хХ состоит из одного и только одного элемента уY. Множество X называют областью отправления, множество Y  областью прибытия.

Функции принято обозначать строчными буквами и, как правило, изображают так: f: Х→У, где f  символ функции. При этом если элементу хХ соответствует элемент уУ, то, обычно пишут у=f(х). Элемент хХ называют аргументом функции или независимой переменной, элемент у  зависимой переменной. Значение функции  значение у, соответствующее заданному значению х.

Функцию считают заданной, если задано множество пар (х, у) таких, что , y= и

Определение. Если множества Х и Y являются числовыми, то функцию, заданную на множестве Х с областью изменения Y называют числовой функцией.

Определение. Совокупность значений x, для которых функция определена, называют областью определения данной функции.

Область определения функции обозначают: .

Иначе говоря, область определения функции ‒ это множество всех значений, которые может принимать ее аргумент.

Найти область определения функции, значит найти все значения аргумента, при которых она имеет смысл.

Пример. Найдем область определения функции .

Решение. Данная функция определена для всех , кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. Решив уравнение х²–5х+6=0, найдем х₁=2; х₂=3 – значения, которые обращают знаменатель в нуль, их следует исключить из области определения.

Следовательно, Это множество является подмножеством множества действительных чисел.

Пример. Найдем область определения функции

Решение. Найдем область определения каждого слагаемого отдельно. Общая часть этих областей определения и будет областью определения всей функции. Для , имеем х 0.

Для , имеем х 1. Тогда для суммы , областью определения будет х 1, то есть бесконечный промежуток [1;+ ).

Определение. Совокупность значений функции, которые она принимает при всех значениях аргумента из области ее определения, называют множеством значений функции.

Множество значений функции обозначают: .

Пример. Найдем множество значений функции

Решение. Выразим зависимость переменной х от у. Для этого решаем уравнение функции относительно переменной х, имеем:

Если , то уравнение имеет корень: Пусть , тогда Следовательно,

Пример. Найдем множество значений функции

Решение. Выразим зависимость переменной х от у. Для этого решаем уравнение функции относительно переменной х, имеем:

Если , то уравнение имеет корни: Пусть , тогда Следовательно,

Пример. Найдем множество значений функции .

Решение. Выразим зависимость переменной х от у. Для этого решаем уравнение функции относительно переменной х, имеем:

Если , то уравнение не имеет корней. Пусть , тогда

Следовательно, .