Классификация функций одного аргумента

Рассмотрим классификацию функций в зависимости от характера действий, которые необходимо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Если над значением аргумента х и некоторыми постоянными выполняют действия: сложения, вычитания, умножения, возведения в целую и положительную степень (и притом конечное число раз), то получают целую рациональную функцию, или многочлен. Общий вид такой функции: , где  целое положительное или равное нулю число, коэффициенты  постоянные числа.

Функции, представимые в виде частного от деления двух целых рациональных функций называют дробно-рациональными функциями.

Иными словами, если аналитическое выражение функции содержит рациональные действия, среди которых есть деление на выражение, содержащее аргумент, то такие функции называют дробно-рациональными.

Пример. f_l(x)=х+ ; f₂(x)= ; f₃(x)=х²+3х– и др.

Совокупность целых рациональных и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.

Пример. Функции f_l(x)=x²+1; f₂(x)= ; f₃(x)= являются рациональными.

Если над аргументом х кроме выше перечисленных первых пяти алгебраических действий производят еще извлечение корня конечное число раз, и результат не является рациональной функцией, то получают иррациональную функцию.

Пример. иррациональная функция.

Здесь под корнем обычно подразумевают его арифметическое значение.

Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций.

В общем случае алгебраической функцией называют многозначную неявную функцию у, определяемую уравнением:

, где п  целое положительное число, коэффициенты  целые рациональные функции от х: (сверх того коэффициент р₀(х) не равен тождественно нулю).

Например, корень уравнения − есть алгебраическая функция. Заметим, что данная функция не является явной алгебраической функцией, так как алгебраическое уравнение пятой степени и выше, вообще говоря, неразрешимо в радикалах.

Всякую неалгебраическую функцию называют функцией трансцендентной¹.

Простейшими трансцендентными функциями (так называемыми элементарными трансцендентными функциями) являются:

− показательная функция , где

− логарифмическая функция , где

− тригонометрические функции: ,

− обратные тригонометрические функции:

,

Примеры. Трансцендентными являются функции: , и др.

Функции алгебраические, элементарные трансцендентные и их конечные комбинации называют элементарными функциями. Это именно те функции, с которым мы будем иметь дело на протяжении всего курса. Заметим, что мы, как правило, будем использовать лишь однозначные элементарные функции, накладывая, если это необходимо, на рассматриваемые многозначные функции дополнительные ограничения.

Основными элементарными функциями считают: многочлен, рациональную функцию, степенную функцию, показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Примеры. ;

При нахождении области определения элементарной функции, заданной формулой обращают внимание на следующие элементы формулы:

радикалы четной степени: функция определена только для тех значений х, при которых выражение, стоящее над знаком корня неотрицательно;

знаменатели дробных выражений: функция будет определена только для тех значений х, при которых знаменатель отличен от нуля;

на трансцендентные функции logv, tgv, ctgv, arcsinv и др., которые существуют не всюду, а только при определенных значениях своего аргумента.

Если перечисленные элементы отсутствуют, то областью определения функции будет множество действительных чисел (вся числовая ось). Исключением являются те случаи, когда область определения функции ограничивается специальными условиями задачи.

Пример. Найдем область определения функции

Решение. Область определения функции состоит из всех значений х, одновременно удовлетворяющих двум неравенствам: То есть задача сводится к решению системы:

Решая данную систему, соответственно находим:

Рис. 40

Следовательно, область определения исходной функции состоит из двух промежутков:

Пример. Найдем область определения функции

Решение. Данная функция определена только для тех значений х, при которых Решив данное неравенство, находим, что –1 х 2. Таким образом, отрезок [–1; 2] является областью определения данной функции.

Пример. Найдем область определения функции .

Решение. Функция состоит из двух слагаемых, поданному данная функция определена на пересечении областей определения каждой из функций. Для , имеем 3–х 0, х 3, то есть функция определена на бесконечном промежутке ]– ; 3] (Рис. 41а). Функция , определена для всех х, удовлетворяющих неравенству: решив которое имеем: –1 х 5, то есть функция определена на отрезке [–1; 5] (Рис. 41б). Пересечением этих множеств будет множество –1 х 3. Следовательно, исходная функция определена на отрезке [–1; 3] (Рис. 41в).

Рис. 41